Perhatikangambar Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah . A. 2y = x - 1 B. 2y = -x - 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = -x + 1 Solusi Cerdas cara cepat panjang garis biru = merah^2 / hijau =1 ^ 1 / 2 = 1/2 karena titik biru berada di y negatif maka koordinat keduanya (0,-1/2) Persamaan garis yang melalui (-1 , 0) dan (0, -1/2) adalah Persamaangaris p seperti tampak pada gambar adalah: 3y = -2x + 18. 2y = 3x + 9. 2y = -3x + 9. 3y = -2x - 18. Penjelasan dan Pembahasan. Jawaban a. 3y = -2x + 18 menurut saya ini salah, karena sudah menyimpang jauh dari apa yang ditanyakan.. Jawaban b. 2y = 3x + 9 menurut saya ini juga salah, karena setelah saya cek di situs ruangguru ternyata lebih tepat untuk jawaban pertanyaan lain. Persamaangaris b seperti tampak pada gambar adalah · · · · A. 2 y = x-1 B. 2 y =-x-1 C. 2 y = x + 1 D. 2 y =-x + 1 24. Diketahui titik A (4, 10), B (-1, p), dan C (2, 2) terletak pada satu garis lurus. Nilai p adalah · · · · A.-10 B.-5 C. 5 D. 10 25. Empat di antara lima titik (2, 4), (4, 7), (7, 10), (10, 16), dan (16, 25) membentuk Substitusikannilai y tersebut ke dalam persamaan garis yang lain. 2x - 3y = 7. 2x - 3(5 - 3x) = 7 dan titik B(4,7), maka persamaan garis g adalah sebagai berikut. 25. Diketahui garis g memotong sumbu x di A(4,0) dan sumbu y di B(0,3). Untuk menyelesaikan soal tersebut siswa diminta menggambar grafiknya seperti pada Gambar : Baca Persamaangaris b seperti tampak pada gambar adala Pertanyaan Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah . 2y = x - 1 2y = - x -1 2y = x + 1 2y = - x + 1 KP K. Putri Master Teacher Mahasiswa/Alumni Universitas Pendidikan Ganesha Jawaban terverifikasi Pembahasan Mau dijawab kurang dari 3 menit? Coba roboguru plus! 1rb+ 5.0 (2 rating) DetailPersamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id. Foto; Wallpaper; Kategori Lainnya Animasi; Mobil; Motor; Kaligrafi; Puisi; Surat; Meme; Quotes; Persamaan Garis P Seperti Tampak Pada Gambar Adalah Brainly Co Id. Tipe Gambar. jpg. Dimensi Gambar. 1470 x 2844. Besaran Gambar. 597.72 KiB. JarakKota Slawi dengan Desa Bojong adalah $12$ km seperti tampak pada gambar berikut. (Keterangan: $\sin 12^\circ = 0,20;$ $\cos 12^\circ = 0,97;$ $\tan 12^\circ = 0,21$) Cara Cepat Menentukan Persamaan Garis Lurus yang Melalui Dua Titik Juli 9, 2022; Catatan Lengkap Materi Matematika, Fisika, Kimia, dan Biologi (Tingkat SMP dan SMA) Juli Persamaangaris B seperti tampak pada gambar adalah - 9277819 KimAnna KimAnna 04.02.2017 Sekolah Menengah Pertama terjawab • terverifikasi oleh ahli Persamaan garis B seperti tampak pada gambar adalah 1 Lihat jawaban Iklan Iklan DenmazEvan DenmazEvan Kategori: Matematika Bab Persamaan garis Kelas: XI SMA Perhitungan dapat dilihat pada OJdB. Geometri adalah salah satu cabang matematika yang mempelajari tentang bangun dan bentuk. Geometri identik dengan visualisasi gambar yang perlu dihadirkan untuk memahami bagaimana sifat-sifat bentuk dan bangun tersebut. Pada umumnya, geometri dibagi menjadi dua bagian utama, yakni geometri bangun datar dan geometri bangun ruang. Meskipun begitu, geometri sebenarnya dikaji secara luas apabila dipelajari secara lebih mendalam. Berikut ini telah disediakan sejumlah soal geometri bangun datar yang juga telah dilengkapi dengan pembahasannya untuk setiap nomor. Soal ini cocok dipelajari untuk siswa/i SMP dan SMA, terutama bagi mereka yang sedang mempersiapkan lomba. Semoga dapat membantu meningkatkan kemampuan menjelajahi dunia geometri. Quote by Confucius Mengetahui bahwa sesuatu salah, tetapi tetap melakukannya, itulah yang benar-benar disebut sebagai kesalahan. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Sebuah persegi panjang dibagi menjadi 6 persegi seperti tampak pada gambar. Panjang sisi persegi terkecil adalah 1 cm. Panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ cm D. $7$ cm B. $5$ cm E. $8$ cm C. $6$ cm Pembahasan Misalkan persegi yang berwarna kuning memiliki panjang sisi $x$ cm. Selanjutnya, kita peroleh panjang sisi persegi yang lain dalam $x$ seperti tampak pada gambar di atas. Perhatikan panjang dan lebar sisi persegi panjang terbesar. Lebarnya adalah $x + 2,$ sedangkan panjangnya jika dipandang dari sisi bawah adalah $x-1+x-2 = 2x-3.$ Karena persegi memiliki empat sisi yang sama panjang, kita peroleh $$\begin{aligned} x+2 & = 2x-3 \\ \Rightarrow x & = 5. \end{aligned}$$Dengan demikian, panjang sisi persegi terbesar adalah $\boxed{5 + 2 = 7~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Keliling dan Luas Bangun Datar Tingkat Lanjut Soal Nomor 2 Sebuah persegi dengan total luas $125~\text{cm}^2$ dibagi menjadi lima daerah yang sama luasnya seperti gambar. Daerah itu berupa empat persegi dan bangun datar berbentuk huruf L. Panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L tersebut adalah $\cdots$ cm. A. $1$ D. $3\sqrt5-1$ B. $1,2$ E. $3\sqrt5+1$ C. $5\sqrt5-10$ Pembahasan Karena luas total persegi besar adalah $125~\text{cm}^2,$ maka luas masing-masing daerah adalah $125 \div 5 = 25~\text{cm}^2.$ Ini menunjukkan bahwa panjang sisi persegi adalah $5~\text{cm}.$ Misalkan panjang sisi terpendek dari bangun datar berbentuk L adalah $x.$ Perhatikan gambar. Luas bangun ini juga $25~\text{cm}^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} 10x + 10+xx & = 25 \\ 10x + 10x + x^2 & = 25 \\ x^2 + 20x & = 25 \\ x+10^2-100 & = 25 \\ x+10^2 &= 125\\ x+10 & = \pm 5\sqrt5 \\ x & = \pm 5\sqrt5-10. \end{aligned}$$Karena ukuran panjang tidak mungkin bernilai negatif, maka diambil $x = 5\sqrt5-10.$ Jadi, panjang sisi terpendek tersebut adalah $\boxed{5\sqrt5-10~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 3 Perhatikan gambar persegi berikut. Persegi kecil yang diberi warna jingga memiliki luas yang sama. Jika panjang sisinya $1$ satuan, maka panjang sisi persegi terbesar adalah $\cdots$ satuan. A. $\sqrt2$ D. $2+2\sqrt2$ B. $2$ E. $2\sqrt2 + 4$ C. $2\sqrt2$ Pembahasan Karena panjang sisi persegi kecil adalah $1$ satuan, maka panjang diagonalnya dengan menggunakan rumus Pythagoras adalah $\sqrt{1^2+1^2} = \sqrt2$ satuan. Jadi, panjang sisi persegi terbesar adalah $$\boxed{1 + \sqrt2 + \sqrt2 + 1 = 2 + 2\sqrt2~\text{satuan}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 4 Dua segitiga sama sisi yang kongruen dengan keliling $24$ cm tumpang-tindih sedemikian sehingga sisi-sisinya saling sejajar. Keliling segi enam yang terbentuk dari irisan kedua segitiga itu adalah $\cdots \cdot$ A. $11$ cm D. $16$ cm B. $12$ cm E. $18$ cm C. $14$ cm Pembahasan Perhatikan bahwa posisi kedua segitiga tersebut membentuk beberapa daerah yang berbentuk segitiga sama sisi. Kita misalkan panjang sisinya masing-masing $a, b,$ dan $c$ seperti tampak pada gambar. Karena keliling segitiga sama sisi yang besar adalah $24$ cm, maka panjang sisinya adalah $24 \div 3 = 8$ cm. Permisalan sebelumnya menunjukkan bahwa $a + b + c = 8$ cm. Sekarang perhatikan segi enam yang terbentuk. Kelilingnya adalah jumlah panjang semua sisinya, yaitu $$\boxed{2a + 2b + 2c = 2a + b + c = 28 = 16~\text{cm}}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 5 Segitiga $PQR$ adalah segitiga siku-siku di $P$ dengan $PQ = 2$ dan $PR = 2\sqrt3.$ Garis tinggi $PL$ memotong garis berat $RM$ di titik $F.$ Panjang $PF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\sqrt3}{2}$ D. $\dfrac{4\sqrt3}{9}$ B. $\dfrac{3\sqrt3}{7}$ E. $\dfrac{5\sqrt3}{7}$ C. $\dfrac{4\sqrt3}{7}$ Pembahasan Misalkan segitiga $PQR$ tersebut diletakkan pada bidang koordinat Kartesius sedemikian sehingga titik $P$ berada di titik asal $0, 0.$ Dengan demikian, diperoleh $Q2, 0, M1, 0,$ dan $R0, 2\sqrt3.$ Kita akan mencari koordinat $F$ dengan terlebih dahulu mencari persamaan garis $MR$ dan $PL.$ Persamaan garis $MR$ Karena $M1, 0$ dan $R0, 2\sqrt3,$ maka persamaan garisnya adalah $1y + 2\sqrt3x = 12\sqrt3$ atau disederhanakan menjadi $y + 2\sqrt3x = 2\sqrt3.$ Persamaan garis $PL$ Perhatikan bahwa $PL \perp QR.$ Gradien garis $QR$ adalah $m_{QR} = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-2\sqrt3}{2} = -\sqrt3.$ Persamaan garis yang tegak lurus dengannya, yaitu $PL,$ bergradien $m_{PL} = -\dfrac{1}{m_{QR}} = \dfrac{1}{\sqrt3}.$ Persamaan garis yang melalui titik $P0,0$ dan bergradien $m_{QR} = \dfrac{1}{\sqrt3}$ adalah $$\begin{aligned} y-y_1 & = mx-x_1 \\ y-0 & = \dfrac{1}{\sqrt3}x-0 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x. \end{aligned}$$ Kita peroleh dua persamaan berikut. $$\begin{cases} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ y & = \dfrac13\sqrt3x \end{cases}$$Selesaikan dengan metode substitusi. $$\begin{aligned} y + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \Rightarrow \dfrac13\sqrt3x + 2\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ \dfrac73\sqrt3x & = 2\sqrt3 \\ x & = \dfrac67 \end{aligned}$$Akibatnya, $y = \dfrac{6}{7\sqrt3}.$ Jadi, koordinat $F$ adalah $\left\dfrac67, \dfrac{6}{7\sqrt3}\right.$ Panjang $PF$ dapat dicari dengan rumus Pythagoras karena kedua titik ujungnya telah diketahui koordinatnya. $$\begin{aligned} PF & = \sqrt{\left\dfrac67-0\right^2+\left\dfrac{6}{7\sqrt3}-0\right^2} \\ & = \sqrt{\dfrac{36}{49}+\dfrac{36}{49 \cdot 3}} \\ & = \sqrt{\dfrac{4 \cdot 36}{49 \cdot 3}} \\ & = \dfrac{12}{7\sqrt3} \\ & = \dfrac{4\sqrt3}{7} \end{aligned}$$Jadi, panjang $PF$ adalah $\boxed{\dfrac{4\sqrt3}{7}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 $PA$ adalah garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $O.$ Jika $PC$ membagi dua sudut $APB$ sama besar, maka berapakah besar sudut $ACP$? A. $30^\circ.$ C. $50^\circ.$ E. $75^\circ.$ B. $45^\circ.$ D. $60^\circ.$ Pembahasan Tarik garis dari $O$ ke $A.$ Karena $PA$ merupakan garis singgung lingkaran, maka $OA \perp PA.$ Perhatikan juga bahwa $AB$ dan $AO$ menghadap busur yang sama sehingga sudut pada $AO$ nilainya dua kali dari sudut pada $AB.$ Kita lakukan permisalan seperti yang tampak pada gambar berikut. Pada $\triangle ACP$ dan $\triangle BCP$ berturut-turut berlaku $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ && \cdots 1 \\ \alpha + y + p & = 180^\circ && \cdots 2 \end{aligned}$$Jumlahkan kedua persamaan itu sehingga didapat $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + x + y + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 180^\circ + 2p & = 360^\circ \\ \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ. \end{aligned}$$Pada $\triangle AOP$ berlaku $$\begin{aligned} 90^\circ + 2a + 2p & = 180^\circ \\ 2a + 2p & = 90^\circ \\ a + p & = 45^\circ \\ \alpha & = 45^\circ-p. \end{aligned}$$Selanjutnya, pada $\triangle ABP$ berlaku $$\begin{aligned} \angle A + \alpha + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + 45^\circ-p + 2p & = 180^\circ \\ \angle A + p & = 135^\circ. \end{aligned}$$Substitusi hasil ini ke persamaan $1.$ $$\begin{aligned} \angle A + x + p & = 180^\circ \\ \angle A + p + x & = 180^\circ \\ 135^\circ + x & = 180^\circ \\ x & = 45^\circ \end{aligned}$$Jadi, besar sudut $ACP$ adalah $\boxed{45^\circ}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Lingkaran Tingkat SD Soal Nomor 7 Dua segi enam beraturan yang sama diletakkan di dalam sebuah jajaran genjang seperti tampak pada gambar. Berapa perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang? A. $1 2$ D. $2 3$ B. $1 3$ E. $2 5$ C. $1 4$ Pembahasan Bagilah jajaran genjang beserta segi enam dengan ruas-ruas garis sehingga diperoleh sejumlah segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Ada $24$ segitiga sama sisi pembentuk jajaran genjang, sedangkan ada $12$ segitiga sama sisi pembentuk segi enam. Jadi, perbandingan jumlah luas kedua segi enam terhadap luas jajaran genjang adalah $\boxed{12 24 = 1 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 8 Gambar di bawah merupakan segi delapan oktagon beraturan. Jika luas daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka luas segi delapan tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $18$ D. $24$ B. $21$ E. $28$ C. $22$ Pembahasan Pada segi delapan beraturan, panjang delapan sisinya sama. Kita misalkan sebagai $x.$ Perhatikan sketsa gambar berikut. Daerah yang diarsir adalah trapesium sama kaki. Panjang sisi siku segitiga dapat dicari dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} a^2 + a^2 & = x^2 \\ 2a^2 & = x^2 \\ a^2 & = \dfrac{x^2}{2} \\ a & = \sqrt{\dfrac{x^2}{2}} = \dfrac{x}{\sqrt2} \end{aligned}$$Karena luas trapesium daerah yang diarsir adalah $6$ satuan luas, maka kita peroleh $$\begin{aligned} \text{Luas trapesium} & = 6 \\ 2 \cdot \text{Luas segitiga} + \text{Luas persegi panjang} & = 6 \\ 2 \cdot \dfrac12 \cdot \left\dfrac{x}{\sqrt2}\right^2 + \dfrac{x}{\sqrt2} \cdot x & = 6 \\ \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^2}{\sqrt2} & = 6 \\ x^2 \left\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2\right & = 6 \\ x^2 & = \dfrac{6}{\dfrac12 + \dfrac12\sqrt2} \\ x & = \dfrac{12}{1 + \sqrt2}. \end{aligned}$$Luas segi delapan dapat dicari jika diketahui panjang sisinya $x$, yaitu $\boxed{L = 2x^2\sqrt2 + 1}$ $$\begin{aligned} \text{Luas segitiga-8} & = 2x^2\sqrt2+1 \\ & = 2\left\dfrac{12}{\cancel{1 + \sqrt2}}\right\cancel{\sqrt2+1} \\ & = 212 = 24 \end{aligned}$$ Jadi, luas segi delapan itu adalah $24$ satuan luas. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 9 $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $M$ dan $N$ terletak di tengah sisi yang saling berhadapan seperti tampak pada gambar. Jika luas segi enam ini adalah $120,$ maka hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\cdots \cdot$ A. $200$ D. $140$ B. $180$ E. $100$ C. $160$ Pembahasan segi enam beraturan tersusun dari 6 segitiga sama sisi seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang sisinya adalah $x.$ Diketahui bahwa luas segi enam adalah $120,$ sehingga luas segitiga sama sisi adalah $\dfrac{120}{6} = 20.$ Dengan menggunakan rumus luas segitiga menurut sinus, diperoleh $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \dfrac12ab \sin \theta \\ 20 & = \dfrac12xx \sin 60^\circ \\ 20 & = \dfrac12x^2 \cdot \dfrac12\sqrt3 \\ x^2 & = \dfrac{80}{\sqrt3}. \end{aligned}$$Panjang $MN$ sama dengan dua kalinya panjang $M$ ke $O$ titik tengah segi enam yang juga merupakan tinggi segitiga sama sisi tersebut. Untuk itu, kita dapat menggunakan rumus Pythagoras untuk mencarinya. $$\begin{aligned} MN & = 2MO \\ & = 2 \cdot \sqrt{x^2-\left\dfrac{x}{2}\right^2} \\ & = 2 \cdot \dfrac12x\sqrt3 \\ & = x\sqrt3 \end{aligned}$$Panjang $AD$ jelas adalah $x + x = 2x.$ Kita peroleh $$\begin{aligned} AD \cdot MN & = 2x \cdot x\sqrt3 \\ & = 2x^2\sqrt3 \\ & = 2 \cdot \dfrac{80}{\cancel{\sqrt3}} \cdot \cancel{\sqrt3} \\ & = 160. \end{aligned}$$Jadi, hasil kali nilai panjang $AD$ dan $MN$ adalah $\boxed{160}$ Jawaban C [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Pada gambar berikut, $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan $P$ di tengah $AB$ serta $Q$ dan $R$ berturut-turut adalah titik potong $PD$ dan $PE$ terhadap diagonal $CE.$ Berapakah perbandingan luas segitiga $PFR$ dan luas trapesium $EDQR$? A. $\dfrac12$ C. $\dfrac14$ E. $\dfrac34$ B. $\dfrac13$ D. $\dfrac23$ Pembahasan Misalkan $x$ adalah panjang sisi segi enam, titik $O$ adalah titik tengah segi enam, dan titik $S$ adalah titik tengah $ED.$ $\triangle AOB$ adalah segitiga sama sisi. Karena $P$ berada di tengah $AB,$ kita peroleh bahwa $PB = \dfrac12x$ dan $BO = x.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, $$\begin{aligned} PO & = \sqrt{BO^2-PB^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \dfrac12\sqrt3x. \end{aligned}$$Karena segi enam ini beraturan, maka panjang $PO$ sama dengan panjang $OS.$ Perhatikan bahwa $\triangle PRQ$ dan $\triangle PED$ sebangun karena ketiga sudutnya sama besar. Karena tinggi $\triangle PED$ dua kali lipatnya dan $ED = x,$ maka $RQ = \dfrac12x.$ Panjang $FC = x + x = 2x$ sehingga $FR = QC = \dfrac{2x-\dfrac12x}{2} = \dfrac34x.$ Luas $\triangle PFR$ sekarang dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} & = \dfrac12 FRPO \\ & = \dfrac12 \cdot \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac{3}{16}\sqrt3x \end{aligned}$$Luas trapesium $EDQR$ juga dapat dicari. $$\begin{aligned} L_{EDQR} & = \dfrac{ED+RQ}{2} \cdot OS \\ & = \dfrac{x + \dfrac12x}{2} \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac34x \cdot \dfrac12\sqrt3x \\ & = \dfrac38\sqrt3x^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan luas keduanya dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} L_{\triangle PFR} L_{EDQR} & = \dfrac{3}{16}\cancel{\sqrt3x^2} \dfrac38\cancel{\sqrt3x^2} \\ & = \dfrac{3}{16} \dfrac38 \\ & = \dfrac{3}{16}16 \dfrac3816 \\ & = 3 6 \\ & = 1 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas segitiga dan trapesium tersebut adalah $\boxed{\dfrac12}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Pada gambar berikut, $ABCD$ adalah trapesium sama kaki, sedangkan $X$ dan $Y$ terletak tepat di tengah-tengah sisi $AD$ dan $BC.$ Jika luas daerah yang diarsir adalah $28~\text{cm}^2,$ maka berapakah luas $ABCD$? A. $30$ C. $42$ E. $56$ B. $35$ D. $48$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sehingga $XO \perp OD,$ titik $P$ sehingga $AP \perp PX,$ dan $Q$ sehingga $XQ \perp QD$ seperti tampak pada gambar. Perhatikan bahwa $\angle AXP = \angle QXD$ karena merupakan pasangan sudut yang saling berseberangan. Diketahui juga $\angle XQD = \angle APX = 90^\circ$ sehingga sudut ketiga pasti memiliki besar yang sama pula. Karena ada satu sisi yang sama panjang, yaitu $AX = XD,$ maka $\triangle APX$ dan $\triangle XQD$ kongruen sehingga $AP = QD$ dan $PX = XQ.$ Jadi, kita bisa memindahkan $\triangle APX$ ke $\triangle XQD,$ begitu juga dengan segitiga di sebelah kanan sisi trapesium. Kita peroleh bahwa luas trapesium akan sama dengan $2$ kali luas daerah yang diarsir, yakni $\boxed{28 \times 2 = 56~\text{cm}^2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 12 Pada gambar berikut, $PQRS$ merupakan persegi dengan panjang sisi $2$ cm. Diketahui bahwa $\triangle QRM$ dan $\triangle SRN$ merupakan segitiga sama sisi. Berapakah panjang $MN$? A. $5\sqrt2$ D. $2\sqrt2$ B. $4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $3\sqrt2$ Pembahasan Tarik garis $MN$ sehingga diperoleh segitiga $MNR.$ Perhatikan bahwa $SR = RQ = 2$ sehingga $MR = RN = 2$ karena merupakan sisi dari segitiga sama sisi yang kongruen. Jika titik baru $O$ diposisikan sedemikian rupa sehingga $MRNO$ merupakan persegi, maka $MN$ adalah diagonalnya. Dengan menggunakan rumus Pythagoras, panjang $MN$ sama dengan $\boxed{\sqrt{2^2 + 2^2} = 2\sqrt2}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Dua setengah lingkaran semicircles digambarkan seperti berikut. Tali busur $CD$ yang panjangnya $8$ sejajar dengan diameter $AB$ dari setengah lingkaran yang besar. Tali busur tersebut menyinggung setengah lingkaran kecil. Luas daerah yang diarsir adalah $\cdots \cdot$ A. $6\pi$ C. $10\pi$ E. $16\pi$ B. $8\pi$ D. $12\pi$ Pembahasan Misalkan titik $O$ adalah titik pusat setengah lingkaran besar. Tarik garis penghubung $OC$ dan $OD$ yang merupakan jari-jari setengah lingkaran besar seperti tampak pada gambar. Segitiga $COD$ merupakan segitiga siku-siku di $O.$ Dengan demikian, kita bisa mencari nilai $R$ panjang jari-jari setengah lingkaran besar dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OC^2 + OD^2 & = CD^2 \\ R^2 + R^2 & = 8^2 \\ 2R^2 & = 64 \\ R^2 & = 32 \end{aligned}$$Misalkan $r$ adalah panjang jari-jari setengah lingkaran kecil. Luas segitiga $COD$ dapat kita tentukan dengan menggunakan prinsip kesamaan alas dan tinggi. $$\begin{aligned} \cancel{\dfrac12} \cdot R \cdot R & = \cancel{\dfrac12} \cdot r \cdot CD \\ 32 & = r \cdot 8 \\ r & = 4 \end{aligned}$$Luas daerah yang diarsir sama dengan selisih luas setengah lingkaran besar dan lingkaran kecil. $$\begin{aligned} L_{\text{arsir}} & = L_{\text{besar}}-L_{\text{kecil}} \\ & = \dfrac12 \pi R^2 -\dfrac12 \pi r^2 \\ & = \dfrac12\piR^2-r^2 \\ & = \dfrac12\pi32-4^2 \\ & = 8\pi \end{aligned}$$Jadi, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{8\pi}$ Jawaban B [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 14 Gambar berikut menunjukkan juring sector lingkaran dengan satu lingkaran dalam incircle. Perbandingan panjang jari-jarinya adalah $3 1.$ Perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $2 1$ D. $5 2$ B. $3 2$ E. $5 3$ C. $4 3$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran dalam adalah $r$ dan juring lingkaran adalah $R = 3r.$ Titik $O$ diposisikan pada titik pusat lingkaran dalam dan $2\theta$ adalah besar sudut juring lingkaran tersebut. Perhatikan segitiga siku-siku $ABO.$ Diketahui bahwa $OB = r$ dan $AO = R-r = 3r-r = 2r.$ Menurut perbandingan trigonometri sinus, kita peroleh $$\begin{aligned} \sin \theta & = \dfrac{OB}{AO} \\ \sin \theta & = \dfrac{r}{2r} = \dfrac12. \end{aligned}$$Jadi, diperoleh $\theta = 30^\circ.$ Dengan demikian, besar sudut juring lingkaran itu adalah $2 \cdot 30^\circ = 60^\circ.$ Perbandingan luas juring dan lingkaran dalam dapat ditentukan. $$\begin{aligned} L_{\text{juring}} L_{\text{lingkaran dalam}} & = \dfrac{60^\circ}{360^\circ} \pi 3r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac16 \pi 9r^2 \pi r^2 \\ & = \dfrac32 1 \\ & = 3 2 \end{aligned}$$Jadi, perbandingan luas juring lingkaran terhadap lingkaran dalam tersebut adalah $\boxed{3 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 15 Pada gambar berikut, terdapat dua lingkaran dengan ukuran berbeda dan sebuah persegi dengan panjang sisi $2$ satuan. Panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\cdots \cdot$ A. $6-4\sqrt2$ D. $2-\sqrt2$ B. $6+4\sqrt2$ E. $\sqrt2$ C. $4-2\sqrt2$ Pembahasan Misalkan titik $B$ adalah titik pusat lingkaran kecil. Buat segitiga $OAB$ yang siku-siku di $A$ seperti tampak pada gambar. Misalkan panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r.$ Karena perseginya memiliki panjang sisi $2,$ maka kita peroleh $OA = AB = 2-r$ dan $OB = 2 + r.$ Sekarang kita gunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB$ untuk mencari nilai $r.$ $$\begin{aligned} OA^2 + AB^2 & = OB^2 \\ 2-r^2 + 2-r^2 & = 2+r^2 \\ 24-4r+r^2 & = 4+4r+r^2 \\ r^2-12r+4 & = 0 \\ r-6^2-32 & = 0 \\ r-6^2 & = 32 \\ r-6 & = \pm 4\sqrt2 \\ r & = 6 \pm 4\sqrt2 \end{aligned}$$Karena $r = 6 + 4\sqrt2$ nilainya lebih dari $2$ sehingga tidak mungkin menjadi pilihan, maka kita ambil $r = 6-4\sqrt2.$ Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $\boxed{6-4\sqrt2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 16 Pada gambar berikut, $XY$ merupakan diameter dari lingkatan kecil dan $S$ merupakan titik yang terletak pada lingkaran kecil sekaligus merupakan titik pusat lingkaran besar. Jika panjang jari-jari lingkaran besar adalah $2$ satuan, maka luas daerah yang diarsir adalah $\cdots$ satuan luas. A. $2$ C. $6$ E. $10$ B. $4$ D. $8$ Pembahasan Posisikan titik $O$ sebagai titik pusat lingkaran kecil. Perhatikan bahwa $OY$ dan $OS$ merupakan jari-jari lingkaran kecil sehingga haruslah $OY = OS = r.$ $SY$ sendiri merupakan jari-jari lingkaran besar sehingga $R = SY = 2.$ Pada $\triangle YOS$ siku-siku di $O$, kita peroleh $r^2$ dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} OY^2 + OS^2 & = SY^2 \\ r^2 + r^2 & = 2^2 \\ 2r^2 & = 4 \\ r^2 & = 2 \\ r & = \sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran kecil adalah $r = \sqrt2.$ Perhatikan bahwa $SY = SX = 2$ dan $XY = 2\sqrt2$ sehingga rumus Pythagoras terpenuhi. Jadi, $\triangle SXY$ merupakan segitiga siku-siku di $S.$ Selanjutnya, cari tembereng lingkaran besar yang dibatasi oleh $XY$ terlebih dahulu. $$\begin{aligned} L_{\text{tembereng}} &= L_{\text{juring}}-L_{\triangle SXY} \\ & = \dfrac14 \pi R^2-\dfrac12SYSX \\ & = \dfrac14 \pi 2^2-\dfrac1222 \\ & = \pi-2 \end{aligned}$$Luas setengah lingkaran kecil putih adalah $L_{\frac12 O} = \dfrac12\pi r^2 = \dfrac12 \pi 2 = \pi.$ Jadi, luas daerah yang diarsir sama dengan luas lingkaran kecil dikurangi jumlahan luas tembereng dan luas setengah lingkaran kecil. $$L = \pi2-\pi-2+\pi = 2$$Dengan demikian, luas daerah yang diarsir adalah $\boxed{2}$ satuan luas. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Teorema Pythagoras Soal Nomor 17 Pada gambar berikut, persegi panjang dengan panjang sisi $12$ cm memuat $6$ lingkaran kongruen yang diposisikan membentuk formasi segitiga sama sisi dan menyinggung sisi persegi panjang. Berapakah jarak terpendek antara dua lingkaran yang diberi arsir dalam satuan cm? A. $43\sqrt3-2$ B. $43\sqrt3-1$ C. $4\sqrt3-2$ D. $4\sqrt3-1$ E. $4\sqrt3-2$ Pembahasan Buatlah segitiga sama sisi yang melalui titik pusat keenam lingkaran seperti tampak pada gambar. Panjang jari-jari lingkaran adalah $12 \div 3 = 4$ cm. Panjang sisi segitiga tersebut adalah $4+4=8$ cm. Selanjutnya, cari tinggi segitiga $OA$ dengan menggunakan rumus Pythagoras pada $\triangle OAB.$ $$\begin{aligned} OA & = \sqrt{AB^2-OB^2} \\ & = \sqrt{8^2-4^2} \\ & = \sqrt{48} \\ & = 4\sqrt3~\text{cm} \end{aligned}$$Jarak terpendek kedua lingkaran yang diarsir sama dengan tinggi segitiga tersebut dikurangi dua kali panjang jari-jari lingkaran. $$\begin{aligned} \text{Jarak} & = OA-2r \\ & = 4\sqrt3-4 \\ & = 4\sqrt3-1~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, jarak yang dimaksud sejauh $\boxed{4\sqrt3-1~\text{cm}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 18 Diberikan sebuah segitiga $\triangle ABC.$ Titik $D$ pada $AC$ sehingga $AD AC = 2 3.$ Titik $E$ pada $AB$ sehingga $AE EB = 1 2.$ Titik $F$ merupakan titik potong ruas garis $CE$ dan $BD.$ Jika diketahui luas $\triangle BFC$ adalah $12$ satuan luas, maka luas $\triangle ABC$ adalah $\cdots$ satuan luas. A. $24$ C. $40$ E. $48$ B. $36$ D. $42$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Dari perbandingan yang diberikan, kita dapat misalkan $CD = x$ sehingga $AD = 2x$ dan $AE = y$ sehingga $BE = 2y.$ Karena $\triangle AFE$ dan $\triangle BFE$ dapat dipandang sebagai dua segitiga dengan tinggi yang sama, tetapi alasnya berkelipatan, maka dapat kita misalkan luas $\triangle AFE = b$ sehingga luas $\triangle BFE = 2b.$ Prinsip serupa juga berlaku untuk luas $\triangle CFD = a$ sehingga luas $\triangle AFD = 2a.$ Dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $BD,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+12}{2a+b+2b} & = \dfrac12 \\ 2a+24 & = 2a+3b \\ 3b & = 24 \\ b & = 8. \end{aligned}$$Berikutnya, dengan menggunakan perbandingan luas pada keseluruhan $\triangle ABC$ yang dibelah oleh $CE,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{a+2a+b}{2b+12} & = \dfrac12 \\ 6a+2b & = 2b+12 \\ 6a & = 12\\ a & = 2. \end{aligned}$$Luas $\triangle ABC$ sama dengan $$\begin{aligned} 12+a+2a+b+2b & = 12+3a+b \\ & = 12+32+8 \\ & = 42~\text{satuan luas}. \end{aligned}$$Jawaban D [collapse] Soal Nomor 19 Pada segitiga $ABC,$ titik $D$ membagi sisi $AC$ sehingga $AD DC = 1 2.$ Misalkan $E$ adalah titik tengah $BD$ dan $F$ adalah titik potong garis $BC$ dan perpanjangan garis $AE.$ Jika luas segitiga $ABC$ adalah $720,$ maka luas segitiga $EBF$ adalah $\cdots \cdot$ A. $180$ C. $80$ E. $40$ B. $120$ D. $60$ Pembahasan Diketahui $L_{\triangle ABC} = 720.$ Karena $D$ pada $AC$ sehingga $AD DC = 1 2,$ maka $$\begin{aligned} L_{\triangle ABD} & = \dfrac{1}{3} \cdot L_{\triangle ABC} = \dfrac13720 = 240 \\ L_{\triangle CBD} & = 720-240 = 480. \end{aligned}$$Selanjutnya perhatikan $\triangle CBD.$ Karena $E$ berada di tengah $BD,$ maka $BE = ED$ yang berakibat $CE$ membelah $\triangle CBD$ menjadi dua bagian yang sama luasnya, yaitu $\dfrac12480 = 240.$ Jika $L_{\triangle EBF} = x,$ maka $L_{\triangle ECF} = 240-x.$ Perhatikan gambar berikut agar lebih jelas. Dengan menggunakan perbandingan luas segitiga dengan satu cevian yang sama, yaitu $EF,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle EBF}}{L_{\triangle ABF}} & = \dfrac{L_{\triangle ECF}}{L_{\triangle ACF}} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{120+240+240-x} \\ \dfrac{x}{120+x} & = \dfrac{240-x}{600-x} \\ x600-x & = 120+x240-x \\ -x^2+600x & = \\ 480x & = \\ x & = 60. \end{aligned}$$Jadi, luas segitiga $EBF$ adalah $\boxed{60}$ Catatan Cevian adalah ruas garis yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga ke sisi segitiga di hadapannya. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 20 Pada gambar di bawah, beberapa garis sejajar dibuat sehingga membagi dua sisi segitiga menjadi 10 ruas yang sama panjangnya. Berapakah persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga? A. $41,75\%$ D. $46\%$ B. $42,5\%$ E. $48\%$ C. $45\%$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Misalkan luas $\triangle ABC = 1.$ Karena ketiga sudut pada $\triangle ADE$ bersesuaian dengan sudut pada $\triangle ABC,$ maka kedua segitiga ini sebangun. Panjang alas dan tinggi $\triangle ADE$ dua kali lipatnya dari $\triangle ABC$ sehingga luas $\triangle ADE = 22 = 4.$ Jika prinsip ini dilanjutkan, kita peroleh luas segitiga berikutnya adalah $9, 16, 25, 36, \cdots, 100.$ Persentase luas daerah yang diberi warna biru terhadap luas keseluruhan segitiga adalah sebagai berikut. $$\begin{aligned} \text{Persentase Luas} & = \dfrac{1 + 9-4 + 25-16 + 36-25 + 64-49 +100-81}{100} \times 100\% \\ & = 1 + 5 + 9 + 11 + 17\% \\ & = 45\% \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 21 Diberikan suatu persegi panjang dengan lebar $4.$ Di dalamnya terdapat satu lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang kongruen. Setiap lingkaran saling bersinggungan satu sama lain dan menyinggung sisi-sisi persegi panjang. Panjang persegi panjang tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $6$ D. $4\sqrt3$ B. $3\sqrt2$ E. $6\sqrt2$ C. $4\sqrt2$ Pembahasan Misalkan $O$ dan $P$ berturut-turut adalah titik pusat lingkaran besar dan kecil, sedangkan $Q$ adalah titik singgung kedua lingkaran kecil. Karena lebar persegi panjang $4,$ maka diameter lingkaran besar juga $4$ sehingga jari-jarinya memiliki panjang $2,$ sedangkan lingkaran kecil memiliki panjang jari-jari $1.$ Kita peroleh $AP = 2+1 = 3$ dan $PQ = 1$ sehingga dengan menggunakan rumus Pythagoras, didapat $$\begin{aligned} OQ & = \sqrt{OP^2-PQ^2} \\ & = \sqrt{3^2-1^2} \\ & = 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, panjang persegi panjang adalah $$\begin{aligned} AB & = AO + OQ + QB \\ & = 2 + 2\sqrt2 + 1 \\ & = 3 + 2\sqrt2. \end{aligned}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 22 Sejumlah lingkaran diposisikan sedemikian rupa sehingga titik pusatnya merupakan titik sudut suatu persegi. Ada dua lingkaran besar dan dua lingkaran kecil yang masing-masing kongruen seperti tampak pada gambar. Berapakah rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil? A. $1$ D. $2$ B. $\sqrt2$ E. $2,5$ C. $1 + \sqrt2$ Pembahasan Misalkan panjang jari-jari lingkaran besar dan kecil berturut-turut adalah $y$ dan $x.$ Buat segitiga siku-siku yang titik sudutnya berada di pusat lingkaran seperti tampak pada gambar. Segitiga siku-siku ini memiliki panjang sisi $x + y, x + y,$ dan $y + y = 2y.$ Dengan menggunakan rumus Pythagoras, kita peroleh $$\begin{aligned} x + y^2 + x + y^2 & = 2y^2 \\ 2x + y^2 & = 22y^2 \\ x + y^2 & = 2y^2 \\ x + y & = \pm y\sqrt2. \end{aligned}$$Karena $x + y$ menyatakan jumlah panjang jari-jari lingkaran yan g nilainya jelas tidak mungkin negatif, maka ambil $x + y = y\sqrt2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} y\sqrt2-y & = x \\ y\sqrt2-1 & = x \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \\ \dfrac{y}{x} & = \dfrac{1}{\sqrt2-1} \cdot \dfrac{\sqrt2+1}{\sqrt2+1} \\ \dfrac{y}{x} & = \sqrt2+1. \end{aligned}$$Jadi, rasio panjang jari-jari lingkaran besar terhadap lingkaran kecil adalah $\boxed{1+\sqrt2}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 23 Persegi panjang $ABCD$ dibagi menjadi sembilan persegi panjang kecil. Bilangan di dalamnya menunjukkan keliling masing-masing persegi panjang. Keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\cdots \cdot$ A. $23$ C. $46$ E. $92$ B. $24$ D. $48$ Pembahasan Misalkan panjang setiap sisi persegi panjang kecil disimbolkan dengan $a, b, c, d, e,$ dan $f$ seperti gambar di bawah. Dari sini, kita tahu bahwa $$\begin{cases} 2b + d & = 11 && \cdots 1 \\ 2a + e & = 20 && \cdots 2 \\ 2b + e & = 8 && \cdots 3 \\ 2c +e & = 11 && \cdots 4 \\ 2b+f & = 12 && \cdots 5 \end{cases}$$Jumlahkan persamaan $4$ dan $5$, kemudian gunakan persamaan $3$ untuk memperoleh $$\begin{aligned} 2b + e + c + f & = 23 \\ \color{red}{2b + e} + 2c + f & = 23 \\ 8 + 2c + f & = 23 \\ 2c + f & = 15.\end{aligned}$$Keliling persegi panjang $ABCD$ dinyatakan sebagai berikut. $$\begin{aligned} k_{ABCD} & = 2a + b + c + d + e + f \\ & = 2b + d + 2a + e + 2c + f \\ & = 11 + 20 + 15 \\ & = 46 \end{aligned}$$Jadi, keliling persegi panjang $ABCD$ adalah $\boxed{46}$ Jawaban C [collapse] Garis Bagi Soal Nomor 1 Diketahui $\triangle ABC$ siku-siku di $B.$ Garis $CD$ merupakan garis bagi yang ditarik dari titik sudut $C.$ Jika panjang $AB = BC = 6$ cm, maka panjang $AD = \cdots$ cm. A. $6-3\sqrt2$ B. $6+3\sqrt2$ C. $12-6\sqrt2$ D. $12+6\sqrt2$ E. $18+6\sqrt2$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Karena $\triangle ABC$ siku-siku, maka rumus Pythagoras berlaku. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{6^2+6^2} \\ & = 6\sqrt2~\text{cm} \end{aligned}$$Misalkan panjang $AD = x$ cm sehingga berakibat $DB = 6-x$ cm. Dengan menggunakan teorema perbandingan oleh garis bagi, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{AD}{DB} & = \dfrac{AC}{BC} \\ \dfrac{x}{6-x} & = \dfrac{\cancel{6}\sqrt2}{\cancel{6}} \\ x & = 6\sqrt2-\sqrt2x \\ 1+\sqrt2x & = 6\sqrt2 \\ x & = \dfrac{6\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ x & = \dfrac{6\sqrt21-\sqrt2}{-1} \\ x & = \sqrt2-16\sqrt2 \\ x & = 12-6\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{12-6\sqrt2~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui segitiga siku-siku sama kaki $ABC$ dengan sudut siku-siku di $C.$ $D$ adalah titik pada $BC$ sehingga $AD$ adalah garis bagi. Perbandingan luas $\triangle ABD$ dan $\triangle ABC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ B. $\sqrt2+1$ C. $\sqrt2-1$ D. $2\sqrt2-1$ E. $2-\sqrt2$ Pembahasan Karena $\triangle ABC$ sama kaki, maka $AC = BC = x.$ Teorema Pythagoras juga berlaku karena segitiga tersebut siku-siku. $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{AC^2+BC^2} \\ & = \sqrt{x^2+x^2} \\ & = x\sqrt2 \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku bahwa $$\dfrac{CD}{DB} = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{x}{x\sqrt2} = \dfrac{1}{\sqrt2}.$$Oleh karena itu, didapat $$\begin{aligned} \dfrac{L_{\triangle ABD}}{L_{\triangle ABC}} & = \dfrac{\cancel{\frac12} \cdot DB \cdot \bcancel{AC}}{\cancel{\frac12} \cdot BC \cdot \bcancel{AC}} \\ & = \dfrac{DB}{BC} \\ & = \dfrac{DB}{CD + DB} \\ & = \dfrac{\sqrt2}{1+\sqrt2} \\ & = -\sqrt21-\sqrt2 \\ & = 2-\sqrt2. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan kedua segitiga tersebut adalah $\boxed{2-\sqrt2}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 3 Pada gambar berikut, $\angle ABC$ dan $\angle ECD$ siku-siku serta $AD$ adalah garis bagi $\angle CAB.$ Jika panjang $AB$ adalah $21$ dan $CD$ adalah $28,$ maka berapakah panjang $BE$? A. $\sqrt7$ D. $15$ B. $3\sqrt7$ E. $21$ C. $7$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi sehingga $\angle BAE = \angle CAD.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABE$ dan $\triangle DCE$ sebangun berdasarkan kesamaan ketiga sudutnya. Oleh karena itu, berlaku perbandingan $\dfrac{BE}{EC} = \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{21}{28} = \dfrac34.$ Misalkan $BE = 3x$ dan $EC = 4x.$ Segitiga $ABC$ siku-siku sehingga rumus Pythagoras berlaku untuk mencari panjang $AC.$ $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2+BC^2} \\ & = \sqrt{21^2+7x^2} \end{aligned}$$Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\begin{aligned} \dfrac{AC}{CE} & = \dfrac{AB}{BE} \\ \dfrac{\sqrt{21^2 + 7x^2}}{4x} & = \dfrac{21}{3x} \\ \sqrt{21^2 + 7x^2} & = 74 \\ \sqrt{3^2 + x^2} & = 4 \\ 9 + x^2 & = 16 \\ x & = \sqrt7. \end{aligned}$$Jadi, panjang $BE$ adalah $\boxed{3x = 3\sqrt7}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 $ABC$ adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-sikunya di $B.$ Jika $AD$ adalah garis bagi pada sudut $A$ dan membagi $BC$ menjadi dua bagian sedemikian sehingga $BD = 2$ dan $CD = 3,$ maka panjang $AD = \cdots \cdot$ A. $2\sqrt3$ D. $4\sqrt2$ B. $2\sqrt5$ E. $4\sqrt3$ C. $2\sqrt6$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. $AD$ merupakan garis bagi pada sudut $A$ sehingga $\angle BAD = \angle DAC.$ Menurut teorema perbandingan oleh garis bagi, berlaku $$\dfrac{BD}{DC} = \dfrac{AB}{AC} = \dfrac23.$$Misalkan $AB = 2x$ dan $AC = 3x$ untuk suatu $x \in \mathbb{R}^+.$ Perhatikan bahwa $\triangle ABC$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AC^2 & = AB^2 + BC^2 \\ 3x^2 & = 2x^2 + 2+3^2 \\ 9x^2 & = 4x^2 + 25 \\ 5x^2 & = 25 \\ x^2 & = 5 \end{aligned}$$Perhatikan juga bahwa $\triangle ABD$ siku-siku sehingga berlaku rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AD^2 & = AB^2 + BD^2 \\ & = 2x^2 + 2^2 \\ & = 4x^2 + 4 \\ & = 45 + 4 \\ & = 24 \\ AD & = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, panjang $AD$ adalah $\boxed{2\sqrt6}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Pada segitiga $ABC,$ $ED$ adalah garis bagi $\angle BDA$ dan $DF$ adalah garis bagi $\angle ADC.$ Jika $AE = 3,$ $BE = 7,$ $BD = 3DC,$ dan $AC = 32,$ maka panjang $FC = \cdots \cdot$ A. $16$ D. $11$ B. $14$ E. $10$ C. $12$ Pembahasan Misalkan $DC = x$ sehingga $BD = 3x.$ Misalkan juga $FC = y$ sehingga $AC = 32-y.$ Pada $\triangle ABD,$ $ED$ merupakan garis bagi $\angle BDA$ sehingga berlaku teorema perbandingan oleh garis bagi berikut. $$\begin{aligned} \dfrac{BE}{EA} & = \dfrac{BD}{DA} \\ \dfrac73 & = \dfrac{3x}{DA} \\ DA & = \dfrac{9x}{7} \end{aligned}$$Hal yang sama juga berlaku pada $\triangle ADC$ oleh garis bagi $DF.$ $$\begin{aligned} \dfrac{AF}{FC} & = \dfrac{DA}{DC} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac{\frac{9x}{7}}{x} \\ \dfrac{32-y}{y} & = \dfrac97 \\ 9y & = 327-7y \\ 16y & = 327 \\ y & = 27 = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang $FC$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban B [collapse] Berikut ini merupakan soal dan pembahasan materi persamaan lingkaran yang merupakan salah satu hasil irisan kerucut pada kajian geometri analitik. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan referensi. Semua gambar grafik yang terdapat pada pos ini merupakan hasil screenshot. Aplikasi yang digunakan untuk menggambar grafiknya adalah GeoGebra Classic 5. Soal juga dapat diunduh dengan mengklik tautan berikut Download PDF, 164 KB. Today Quote Siapkan masa kini. Tidak perlu menyesali apa yang telah terjadi di masa lalu dan mengkhawatirkan apa yang belum terjadi di masa depan. Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Elips Baca Juga Soal dan Pembahasan- Irisan Kerucut Hiperbola Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Lingkaran yang berpusat di titik $p$ menyinggung sumbu $Y$ seperti yang terlihat pada gambar berikut. Persamaan lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x-10^2+y+6^2=10$ B. $x-10^2+y+6^2=36$ C. $x+10^2+y-6^2=36$ D. $x-10^2+y+6^2=100$ E. $x+10^2+y-6^2=100$ Pembahasan Dari gambar, tampak bahwa pusat lingkarannya berada di koordinat $10, -6$. Karena lingkaran tepat menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah $10$. Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ dirumuskan oleh $x-a^2+y-b^2 = r^2$. Untuk $a, b = 10, -6$ dan $r = 10$, didapat $\boxed{x-10^2+y+6^2 = 100}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $Ph, k$ dan $r$ berturut-turut menyatakan pusat dan jari-jari lingkaran $x^2+y^2+8x-2y-8=0.$ Nilai dari $r+k-h = \cdots \cdot$ A. $10$ C. $15$ E. $19$ B. $12$ D. $17$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke dalam bentuk umum kanonik, yakni $$\begin{aligned} x^2+y^2+8x-2y-8&=0 \\ x+4^2- 16 + y-1^2-1-8 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2-25 & = 0 \\ x+4^2 + y-1^2 &=25 \end{aligned}$$Perhatikan bahwa lingkaran yang berpusat di $x_p, y_p$ dan berjari-jari $r$ memiliki persamaan $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2.$ Untuk itu, pusat lingkaran ini adalah $-4, 1$ dan jari-jarinya $r = \sqrt{25} = 5.$ Dengan kata lain, $h =-4, k = 1$, dan $r = 5$ sehingga $\boxed{r + k-h = 5 + 1-4 = 10}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Lingkaran $$L \equiv x+1^2+y-3^2=9$$ memotong garis $y = 3$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x = 2$ dan $x =-4$ B. $x = 2$ dan $x =-2$ C. $x =-2$ dan $x = 4$ D. $x =-2$ dan $x =-4$ E. $x = 8$ dan $x =-10$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 3$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x+1^2+y-3^2 &=9 \\ x+1^2+\color{red}{3}-3^2 & = 9 \\ x+1^2 & = 9 \\ x+1 & = \pm 3 \\ x = 2~&\text{atau}~x =-4 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $2,3$ dan $-4, 3.$ Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $2,3$ adalah $\begin{aligned} x+12+1 + y-33-3 & = 9 \\ 3x+1 & = 9 \\ x +1& = 3 \\ x &= 2 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $-4,3$ adalah $$\begin{aligned} x+1-4+1 + y-33-3 & = 9 \\-3x+1 & = 9 \\ x +1& =-3 \\ x &=-4 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 2$ dan $x =-4,$ seperti yang tampak pada gambar grafik berikut. Jawaban A [collapse] Baca Juga Cara Menghitung Luas Daun Beraturan dalam Matematika Soal Nomor 4 Lingkaran $$L \equiv x-3^2+y-2^2=4$$ memotong garis $y = 2$. Garis singgung lingkaran yang melalui titik potong antara lingkaran dan garis tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $x =-1$ dan $x =-5$ B. $x =-1$ dan $x = 5$ C. $x = 1$ dan $x =-5$ D. $x = 1$ dan $x = 5$ E. $x = 4$ dan $x = 6$ Pembahasan Titik potong lingkaran dengan garis itu dapat ditentukan dengan mensubstitusikan $y = 2$ ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x-3^2+y-2^2 &=4 \\ x-3^2+\color{red}{2}-2^2 & = 4 \\ x-3^2 & = 4 \\ x-3 & = \pm 2 \\ x = 5~&\text{atau}~x = 1 \end{aligned}$ Jadi, titik potongnya di $1,2$ dan $5,2$. Persamaan garis singgung lingkaran $x-x_p^2+y-y_p^2 = r^2$ dan melalui $a, b$ adalah $$x-x_pa-x_p + y-y_pb-y_p = r^2.$$Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $1,2$ adalah $\begin{aligned} x-31-3 + y-22-2 & = 4 \\-2x-3 & = 4 \\ x-3& =-2 \\ x &= 1 \end{aligned}$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $5,2$ adalah $\begin{aligned} x-35-3 + y-22-2 & =4 \\ 2x-3 & =4 \\ x-3& = 2 \\ x &= 5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung yang dimaksud adalah $x = 1$ dan $x = 5,$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Soal Nomor 5 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+12x-6y+13=0$ di titik $-2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y+1=0$ B. $x+2y+4=0$ C. $2x-y+3=0$ D. $-2x-y-5=0$ E. $3x-2y+4=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A = 12$, $B =-6$, $C = 13$, $x_1 =-2$, dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned}-2x-y + \dfrac{1}{2}12x-2+\dfrac{1}{2}-6y-1 + 13 & = 0 \\-2x-y + 6x-12-3y + 3 +13 & = 0 \\ 4x-4y+4& = 0 \\ \text{Bagi kedua ruas dengan 4} & \\ x-y+1 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y+1 = 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 6 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y+11=0$ di titik $2,-1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x-y-12=0$ B. $x-y-4=0$ C. $x-y-3=0$ D. $x+y-3=0$ E. $x+y+3=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C = 11$, $x_1 = 2,$ dan $y_1 =-1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 2x- y + \dfrac{1}{2}-6x+2+\dfrac{1}{2}4y-1 + 11 & = 0 \\ 2x-y-3x-6 + 2y-2 +11 & = 0 \\-x + y+ 3 & = 0 \\ \text{Kali kedua ruas dengan-1} & \\ x-y-3 & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{x-y-3= 0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2-6x+4y-12=0$ di titik $7,1$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x-4y-41=0$ B. $4x+3y-55=0$ C. $4x-5y-53=0$ D. $4x+3y-31=0$ E. $4x-3y-40=0$ Pembahasan Persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C=0$ di titik $x_1, y_1$ dinyatakan oleh $$\boxed{x_1x+y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1 + C = 0}$$Diketahui $A =-6, B = 4$, $C =-12,$ $x_1 = 7$, dan $y_1 = 1$ sehingga persamaan garis singgungnya adalah $$\begin{aligned} 7x + y + \dfrac{1}{2}-6x+7+\dfrac{1}{2}4y+1-12 & = 0 \\ 7x + y-3x-21 + 2y + 2-12& = 0 \\ 4x+3y-31& = 0\end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgungnya adalah $\boxed{4x+3y-31=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 8 Persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x^2+3y^2-6x-15y+16=0$ B. $2x^2+2y^2-4x-8y+9=0$ C. $2x^2+2y^2-4x-6y+7=0$ D. $x^2+y^2-2x+4y+2=0$ E. $x^2+y^2-4x-2y+1=0$ Pembahasan Diketahui titik pusat lingkarannya adalah $x_p, y_p = 1,2.$ Garis singgungnya adalah $y=x$ atau dapat ditulis $-x+y = 0$. Ini berarti, $$\begin{aligned} \text{Koefi}\text{sien}~x & = a =-1 \\ \text{Koefi}\text{sien}~y & = b = 1 \\ \text{Konstan}\text{ta} & = c = 0 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dapat ditentukan dengan $\boxed{r = \dfrac{ax_p + by_p + c} {\sqrt{a^2+b^2}}}$ yaitu $\begin{aligned} r & = \dfrac{-11 + 12 + 0}{\sqrt{-1^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1 + 2}{\sqrt{2}} \\ & = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}} {\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{2} \end{aligned}$ Persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $$\begin{aligned} x-x_p^2+y-y_p^2 & = r^2 \\ x-1^2+y-2^2 & = \left\dfrac{1}{2}\sqrt{2}\right^2 \\ x^2-2x+1+y^2-4y+4 & = \dfrac{1}{2} \\ \text{Kalikan kedua ruas dengan}&~2 \\ 2x^2+2y^2-4x-8y+9&=0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran yang pusatnya di titik $1,2$ dan menyinggung garis $y=x$ adalah $\boxed{2x^2+2y^2-4x-8y+9=0}$ seperti yang tampak pada gambar berikut. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 9 Persamaan garis yang sejajar dengan $x+2y-5=0$ yang membagi lingkaran $x^2+y^2-8x+6y-20=0$ menjadi dua bagian yang sama adalah $\cdots \cdot$ A. $x+2y+2=0$ B. $x+2y+6=0$ C. $x+2y-2=0$ D. $x+2y=0$ E. $x+2y-8=0$ Pembahasan Gradien garis $x+2y-5=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x}{\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{1}{2}.$ Karena sejajar, maka garis yang membagi dua lingkaran itu juga memiliki gradien yang sama, yaitu $m = m_1 =-\dfrac{1}{2}.$ Ubah persamaan lingkarannya menjadi bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2-8x+6y-20 & = 0 \\ x^2- 8x + y^2 + 6y-20 & = 0 \\ x- 4^2-16 + y+3^2-9-20 & = 0 \\ x-4^2 + y+3^2 = 45 \end{aligned}$$Persamaan lingkaran di atas menunjukkan bahwa titik pusat lingkaran di $4,-3.$ Garis yang membagi dua lingkaran itu pasti melalui titik pusat lingkaran. Persamaan garis yang melalui titik $x_1, y_1 = 4,-3$ dan bergradien $m =-\dfrac{1}{2}$ adalah $\begin{aligned} y-y_1 &= mx-x_1 \\ y-3 & =-\dfrac{1}{2}x- 4 \\ 2y + 6 & =-x + 4 \\ x + 2y + 2 & = 0 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis yang dimaksud adalah $\boxed{x+2y+2=0}$ Perhatikan gambar grafiknya untuk lebih jelasnya. Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan – Garis Singgung Lingkaran Tingkat SMP Soal Nomor 10 Titik $a, b$ disebut titik letis jika $a$ dan $b$ keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ adalah $\cdots \cdot$ A. $4$ D. $12$ B. $6$ E. tidak bisa dipastikan C. $8$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di titik asal $0,0$ dan berjari-jari $r = 5$ adalah $x^2 + y^2 = 25.$ Bila dipilih $x = 0$, maka $y = \pm 5$ dan sebaliknya. Bila dipilih $x = \pm 3$, maka $y = \pm 4$ dan sebaliknya. Untuk itu, pasangan $x, y \in \mathbb{Z}$ yang memenuhi persamaan lingkaran di atas adalah $\begin{aligned} & \{0, 5, 0,-5, 5, 0, -5, 0, 3, 4, \\ & 3,-4, -3, 4, -3,-4, 4, 3, \\ & 4,-3, -4, 3, -4,-3\} \end{aligned}$ Jadi, banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di $O$ dan berjari-jari $5$ ada $\boxed{12}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Salah satu persamaan garis singgung lingkaran $x^2+y^2$ $-2x+6y-10=0$ yang sejajar dengan garis $2x-y+4=0$ adalah $\cdots \cdot$ A. $2x-y=14$ B. $2x-y=10$ C. $2x-y=5$ D. $2x-y=-5$ E. $2x-y=-6$ Pembahasan Ubah persamaan lingkarannya ke dalam bentuk umum. $$\begin{aligned} x^2+y^2-2x+6y-10 & = 0 \\ x-1^2-1 + y + 3^2-9-10 & = 0 \\ x-1^2 + y+3^2 & = 20 \end{aligned}$$Lingkaran tersebut berpusat di $1,-3$ dan berjari-jari $\sqrt{20} = 2\sqrt5.$ Gradien garis $2x-y+4=0$ adalah $m_1 =-\dfrac{\text{Koefi}\text{sien}~x} {\text{Koefi}\text{sien}~y} =-\dfrac{2}{-1} = 2.$ Karena sejajar, maka garis singgung lingkaran juga memiliki gradien $m=2.$ Persamaan garis singgung bergradien $2$ pada lingkaran dengan pusat di $1,-3$ dan jari-jarinya $2\sqrt5$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} y-y_p & = mx-x_p \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-3 & = 2x-1 \pm 2\sqrt{5}\sqrt{1+2^2} \\ y + 3 & = 2x-2 \pm 10 \\ 2x- y & = 5 \pm 10 \end{aligned}$ Dengan demikian, kita peroleh dua persamaan garis singgung lingkaran, yaitu $\begin{cases} 2x-y = 15 \\ 2x-y =-5 \end{cases}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui 2 lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ dan $x^2+y^2+10x-8y+25=0$. Hubungan antara kedua lingkaran ini adalah $\cdots \cdot$ A. berpotongan di satu titik B. tidak berpotongan C. bersinggungan luar D. bersinggungan dalam E. sepusat Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x-8y+21=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+6x + y^2-8y + 21 & = 0 \\ x+3^2-9 + y-4^2-16 + 21 & = 0 \\ x+3^2 + y-4^2 = 4 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-3, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{4} = 2.$ Lingkaran $x^2+y^2+10x-8y+25=0$ memiliki bentuk umum $$\begin{aligned} x^2+10x + y^2-8y + 25 & = 0 \\ x+5^2-25 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 & = 16 \end{aligned}$$Bentuk terakhir menunjukkan lingkaran ini berpusat di $-5, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Jarak kedua pusat lingkaran adalah $s =-3-5 = 2.$ Selisih kedua jari-jari lingkaran adalah $\triangle r = 4-2 = 2.$ Karena sama, maka dapat disimpulkan bahwa kedua lingkaran itu bersinggungan dalam. Secara geometris, dapat dibuat sketsa grafiknya sebagai berikut. Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A-2,1$ dan $B4,-3$. Jika $Px,y$ terletak pada bidang koordinat sedemikian sehingga $PA^2 + PB^2 = AB^2$, maka $P$ merupakan titik-titik yang terletak pada busur lingkaran yang memotong sumbu $X$ pada $\cdots \cdot$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x = 2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$ $x = 2\sqrt{13}-1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x = 2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ $x =-2\sqrt{13}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}-1$ Pembahasan Karena berlaku persamaan Pythagoras $PA^2+PB^2=AB^2$, maka dapat diasumsikan bahwa $PAB$ merupakan segitiga siku-siku yang sudut siku-sikunya di $P$. Diketahui $Px, y, A-2,1, B4,-3.$ Dengan menggunakan rumus jarak dalam sistem koordinat Kartesius, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} \left\sqrt{x+2^2+y-1^2}\right^2 + & \left\sqrt{x-4^2+y+3^2}\right^2 \\ & = \left\sqrt{-2-4^2+1+3^2}\right^2 \end{aligned}$$Sederhanakan dengan menghapus tanda akar dan menguraikan bentuk kuadratnya. $\begin{aligned} & x^2+4x+4+ y^2-2y+1+ \\ & x^2-8x+16+ y^2+6y+9 = 52 \end{aligned}$ Sederhanakan bentuk aljabarnya. $\begin{aligned} 2x^2 + 2y^2-4x + 4y-22 & = 0 \\ \text{Bagi 2 pada kedua ruasnya} & \\ x^2+y^2-2x+2y-11&=0 \end{aligned}$ Bentuk terakhir adalah persamaan lingkaran yang mewakili kedudukan titik $P$ pada bidang koordinat. Lingkaran ini memotong sumbu $X$ saat $y = 0$, sehingga $\begin{aligned} x^2+0^2-2x+20-11&=0 \\ x^2-2x-11 & = 0 \end{aligned}$ Gunakan rumus ABC untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat di atas. $\begin{aligned} x_{1,2} & = \dfrac{2 \pm \sqrt{-2^2-41-11}} {21} \\ & = \dfrac{2 \pm \sqrt{48}} {2} \\ & = \dfrac{2 \pm 4\sqrt{3}} {2} \\ & = \pm 2\sqrt{3} + 1 \end{aligned}$ Jadi, lingkarannya akan memotong sumbu $X$ di $x = 2\sqrt{3}+1$ dan $x =-2\sqrt{3}+1$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 14 Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2 = 36$ dari titik $9,-6$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3x+2y=12$ B. $3x-2y=12$ C. $3x+2y=-18$ D. $3x-y=12$ E. $2x-3y=18$ Pembahasan Persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=r^2$ dari titik $x_1,y_1$ dirumuskan oleh $x_1x + y_1y = r^2$. Untuk itu, persamaan garis polar lingkaran $x^2+y^2=36$ dari titik $9,-6$ adalah $\begin{aligned} 9x-6y & = 36 \\ \text{Bagi kedua ruas}~&~\text{dengan 3} \\ 3x-2y & = 12 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis polarnya adalah $\boxed{3x-2y=12}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 15 Lingkaran yang berpusat di $2,3$ dan menyinggung garis $y-7=0$, juga menyinggung garis dengan persamaan $\cdots \cdot$ A. $x+6 = 0$ dan $y + 4 = 0$ B. $x-6 = 0$ dan $y + 1 = 0$ C. $x+2 = 0$ dan $y-6 = 0$ D. $x-2 = 0$ dan $y-6 = 0$ E. $x-2 = 0$ dan $y + 1 = 0$ Pembahasan Perhatikan sketsa berikut. Jika titik pusat lingkaran di $2, 3$, maka jarak titik ini ke titik singgung $2, 7$ adalah jari-jari lingkaran, yaitu $r = 7-3 = 4$. Ini berarti, persamaan lingkarannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 4^2 = 16.$ Tampak bahwa garis horizontal dan vertikal yang menyinggung lingkaran ini adalah $\begin{aligned} y & =-1 \equiv y + 1 = 0 \\ x & = 6 \equiv x-6 = 0 \\ x &=-2 \equiv x + 2 = 0 \\ y & = 7 \equiv y-7 = 0 \end{aligned}$ Dari pilihan yang diberikan, jawaban yang tepat adalah B. [collapse] Soal Nomor 16 Jika kuasa titik $Mm, 4$ sama dengan nol terhadap lingkaran $x^2+y^2=25$, maka nilai $m = \cdots \cdot$ A. $\sqrt{3}$ D. $\pm 2$ B. $3$ E. $\pm 3$ C. $2$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x^2 + y^2 = 25$ ekuivalen dengan $x^2 + y^2-25 = 0$. Nilai kuasa titik $x_1, y_1$ pada lingkaran tersebut adalah $x_1^2 + y_1^2-25.$ Agar nilai tersebut nol, kita tuliskan $\begin{aligned} x_1^2 + y_1^2-25 & = 0 \\ m^2 + 4^2-25 & = 0 \\ m^2-9 & = 0 \\ m^2 & = 9 \\ m & = \pm 3 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{m = \pm 3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 17 Misalkan titik $A$ dan $B$ berada pada lingkaran $x^2 + y^2-6x-2y + k = 0$ sehingga garis singgung lingkaran di titik $A$ dan $B$ berpotongan di $C8,1$. Jika luas segi empat yang melalui titik $A,B,C$, dan pusat lingkaran adalah $12$, maka $k = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $0$ D. $2$ Pembahasan Ubah persamaan lingkaran itu ke bentuk umumnya. $$\begin{aligned} x^2+y^2-6x-2y+k&=0 \\ x- 3^2- 9 + y-1^2-1+k&=0 \\ x-3^2 + y-1^2 & =10- k \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $P3,1$ dan $r = \sqrt{10-k}.$ Perhatikan bahwa garis yang ditarik dari titik $P3,1$ ke titik $C8,1$ membentuk garis horizontal mendatar. Ini berarti, garis $AB$ berupa garis vertikal sehingga segi empat $PABC$ berupa layang-layang. Perhatikan sketsa berikut untuk lebih jelasnya. Ingat bahwa jari-jari dan garis singgung selalu membentuk sudut siku-siku sehingga diperoleh segitiga $PAC$, siku-siku di $A.$ Diketahui $\begin{aligned} r & = PA = \sqrt{10-k} \\ PC & = 8-3 = 5 \end{aligned}$ Panjang $AC$ dapat ditentukan dengan Teorema Pythagoras. $\begin{aligned} AC & = \sqrt{PC^2-PA^2} \\ & = \sqrt{5^2-10-k} \\ & = \sqrt{k+15} \end{aligned}$ Dengan demikian, luas layang-layangnya dirumuskan oleh $\begin{aligned} 2 \cdot L_{\triangle PAC} & = 12 \\ 2 \cdot \dfrac{1}{2} \cdot PA \cdot AC & = 12 \\ \sqrt{10-k} \cdot \sqrt{k+15}&=12 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ 10-k k+15 & = 144 \\-k^2-5k + 150-144 & = 0 \\ k^2+5k-6&=0 \\ k+6k-1 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $k =-6$ atau $k = 1.$ Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah C. [collapse] Soal Nomor 18 Lingkaran $x^2 + y^2 -16x-12y = 0$ memotong sumbu $Y$ di titik $P$. Salah satu persamaan garis singgung lingkaran di titik $P$ adalah $\cdots \cdot$ A. $3y = 4x + 36$ B. $3y =-4x + 36$ C. $3y = 4x + 12$ D. $4y = 3x + 12$ E. $4y =-3x + 12$ Pembahasan Karena lingkaran memotong sumbu $Y$, maka nilai $x = 0$. Substitusikan ke persamaan lingkaran. $\begin{aligned} x^2+y^2-16x-12y&=0 \\ 0^2-y^2-160-12y & = 0 \\-y^2-12y & = 0 \\ yy+12 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $y = 0$ atau $y = 12$. Ini berarti, ada dua kemungkinan koordinat titik $P$, yaitu di $0,0$ atau $0,12$. Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0$, $x_1 = y_1 = 0.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,0$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 0y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+0 + 0 & = 0 \\ -8x-6y & = 0 \\ 4x + 3y & = 0 \end{aligned}$$ Diketahui $A =-16, B =-12$, $C = 0,$ $x_1 = 0, y_1 = 12.$ Persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik $P0,12$ adalah $$\begin{aligned} x_1x + y_1y + \dfrac{1}{2}Ax+x_1+\dfrac{1}{2}By+y_1+C & = 0 \\ 0x + 12y + \dfrac{1}{2}-16x + 0+\dfrac{1}{2}-12y+12 + 0 & = 0 \\ 12y-8x-6y-72 & = 0 \\ 6y & = 8x + 72 \\ 3y & = 4x + 36 \end{aligned}$$Berdasarkan pilihan yang tersedia, jawaban yang tepat adalah A. Perhatikan gambar grafiknya sebagai bentuk representasi geometrisnya. [collapse] Soal Nomor 19 Persamaan lingkaran yang pusatnya terletak pada garis $2x+3y-5=0$ serta menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2+5x-5y+25=0$ B. $x^2+y^2-5x+5y+25=0$ C. $x^2+y^2+10x-10y+25=0$ D. $x^2+y^2-10x+10y+25=0$ E. $x^2+y^2+5x+5y+10=0$ Pembahasan Karena lingkaran menyinggung sumbu $X$ negatif dan sumbu $Y$ positif, maka dapat dipastikan bahwa lingkaran itu berada di kuadran II seperti sketsa gambar berikut. Jarak dari pusat lingkaran ke sisi lingkaran adalah jari-jari $r$, sehingga koordinat titik pusatnya adalah $-r, r.$ Karena pusat terletak pada garis $2x+3y-5=0,$ maka substitusi $x = -r$ dan $y = r$, diperoleh $\begin{aligned} 2-r+3r-5 & = 0 \\ r & = 5 \end{aligned}$ Pusat lingkaran di $-5, 5$. Persamaan lingkarannya adalah $$\begin{aligned} x-a^2+y-b^2&=r^2 \\ x+5^2+y-5^2 & = 5^2 \\ x^2+10x+25+y^2-10y+\cancel{25} & = \cancel{25} \\ x^2+y^2+10x-10y+25&=0 \end{aligned}$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 20 Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ menyinggung garis $ax+by=2a$. Nilai dari $\dfrac{a^2}{a^2+b^2}$ $= \cdots \cdot$ A. $0$ C. $2$ E. $4$ B. $1$ D. $3$ Pembahasan Persamaan lingkaran $x+1^2+y^2=9$ berpusat di $x_1, y_1 = -1, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt9 = 3$. Lingkaran ini menyinggung garis $ax+by=2a$ atau ekuivalen dengan $ax+by-2a=0$. Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} r & = 3 \\ \left\dfrac{ax_1+by_1+c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{a-1+b0+-2a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \left\dfrac{-3a}{\sqrt{a^2+b^2}}\right & = 3 \\ \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua}~&\text{ruas} \\ \dfrac{a^2}{a^2+b^2} & = 1^2=1 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{\dfrac{a^2}{a^2+b^2} = 1}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 21 Titik pusat lingkaran $L$ berada di kuadran I dan berada di sepanjang garis $y = 2x$. Jika $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, persamaan lingkaran $L$ adalah $\cdots \cdot$ A. $x^2+y^2-3x-6y=0$ B. $x^2+y^2+6x-12y-108=0$ C. $x^2+y^2+12x+6y-72=0$ D. $x^2+y^2-12x-6y=0$ E. $x^2+y^2-6x-12y+36=0$ Pembahasan Karena lingkaran $L$ menyinggung sumbu $Y$ di titik $0,6$, maka dapat dipastikan bahwa ordinat pusat lingkaran $L$ adalah $6$, dengan absis yang dapat ditentukan oleh persamaan $y=2x$, yaitu $6 = 2x \Leftrightarrow x = 3.$ Jadi, pusat lingkaran $L$ di $3,6.$ Panjang jari-jari lingkarannya adalah jarak dari titik $3,26$ ke $0,6$, yaitu $r = 3.$ Dengan demikian, persamaan lingkarannya adalah $\begin{aligned} x-3^2 + y-6^2 &= 3^2 \\ x^2-6x + 9 + y^2-12y + 36 & = 9 \\ x^2 + y^2-6x-12y + 36 & = 0 \end{aligned}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 22 Diketahui lingkaran $L \equiv x^2 + y^2 -2x-4y-10 = 0$. Garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya dan melalui titik $a, b$ memiliki persamaan $\cdots \cdot$ $b+2x+1+ay+2a-b = 0$ $b-2x+1+ay+2a+b = 0$ $b+2x+1-ay+2a-b = 0$ $b+2x+1-ay+2a+b = 0$ $b-2x+1-ay+2a-b = 0$ Pembahasan Suatu garis yang membelah lingkaran menjadi dua bagian yang sama luasnya pasti melalui titik pusat lingkaran. Oleh karena itu, kita cari titik pusat lingkaran yang diberikan $$\begin{aligned} x^2 + y^2-2x-4y -10 & = 0 \\ x-1^2-1+y-2^2-4-10 & = 0 \\ x-1^2+y-2^2 & = 15 \end{aligned}$$Diperoleh titik pusat di $1, 2.$ Persamaan garis yang melalui $1, 2$ dan $a, b$ adalah $$\begin{aligned} \dfrac{y-y_1}{y_2-y_1} & = \dfrac{x-x_1}{x_2-x_1} \\ \dfrac{y-2}{b-2} & = \dfrac{x-1}{a-1} \\ y-2a-1 & = b-2x-1 \\ ay-y-2a+2 & = bx-b-2x+2 \\ b-2x+1-ay+2a-b & = 0 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis itu dinyatakan oleh $\boxed{b-2x+1-ay+2a-b = 0}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 23 Salah satu persamaan garis singgung dari titik $0, 4$ pada lingkaran $x^2+y^2 = 4$ adalah $\cdots \cdot$ A. $y = \sqrt3x + 2$ B. $y = \sqrt3x + 4$ C. $y = 3x + 4$ D. $y = \sqrt5x + 4$ E. $y = 5x + 4$ Pembahasan Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran itu sehingga diperoleh $$0^2 + 4^2 = 16 > 4.$$Ini artinya titik $0, 4$ berada di luar lingkaran. Misalkan persamaan garis singgung yang dimaksud berbentuk $y = mx + c.$ Substitusi $x = 0$ dan $y = 4$ pada persamaan garis sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 4 & = m0 + c \\ c & = 4. \end{aligned}$$Jadi, persamaan garisnya adalah $y = mx + 4.$ Berikutnya, substitusikan pada persamaan lingkaran. $$\begin{aligned} x^2+y^2 & = 4 \\ x^2 + mx + 4^2 & = 4 \\ x^2 + m^2x^2 + 8mx + 16 & = 4 \\ \underbrace{1+m^2}_{a}x^2 + \underbrace{8m}_{b}x + \underbrace{12}_{c} & = 0. \end{aligned}$$Karena garis menyinggung lingkaran, maka persamaan kuadrat di atas harus berdiskriminan $0.$ $$\begin{aligned} D & = 0 \\ b^2-4ac & = 0 \\ 8m^2-41+m^212 & = 0 \\ 64m^2-48-48m^2 & = 0 \\ 16m^2 & = 48 \\ m^2 & = 3 \\ m & = \pm \sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $y = \sqrt3x + 4$ atau $y = -\sqrt3x + 4.$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 24 Diberikan lingkaran dengan persamaan $x^2+y^2-4x-14y+44=0.$ Jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $3$ C. $7$ E. $13$ B. $5$ D. $10$ Pembahasan Perhatikan bahwa $$\begin{aligned} x^2+y^2-4x-14y + 44 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-14y + 44 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-7^2-49 + 44 & = 0 \\ x-2^2 + y-7^2 & = 9. \end{aligned}$$Jadi, lingkaran itu berpusat di $2, 7$ dan berjari-jari $\sqrt9 = 3.$Titik $14, 2$ berada di luar lingkaran tersebut karena substitusi pada ruas kiri menghasilkan nilai lebih dari $9.$ Untuk mencari jarak terdekat titik ini ke lingkaran, cari dulu jarak titik tersebut ke pusat lingkaran, kemudian dikurangi dengan panjang jari-jarinya. $$\begin{aligned} 14, 2 \to 2, 7 \Rightarrow d & = \sqrt{14-2^2 + 2-7^2} \\ & = \sqrt{144 + 25} \\ & = 13 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran sama dengan $3$ sehingga jarak terdekat titik $14, 2$ ke lingkaran tersebut adalah $\boxed{13-3=10}$ Jawaban D [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Selidiki apakah persamaan berikut merupakan persamaan lingkaran atau bukan. a. $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ b. $x^2 + y^2-4x- 8y + 25 = 0$ c. $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran haruslah berbentuk $x-a^2+y-b^2 = r^2$ dengan $a, b$ sebagai koordinat titik pusat dan $r$ jari-jari lingkaran serta $r > 0$. Jawaban a Persamaan $x-4^2 + y-1^2-36 = 0$ ekuivalen dengan $x- 4^2 + y-1^2 = 36$ Persamaan ini menunjukkan bentuk persamaan lingkaran yang pusatnya di $4, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt{36} = 6.$ Jawaban b Ubah bentuk persamaan ini menjadi seperti berikut. $$\begin{aligned} x^2 + y^2-4x-8y + 25 & = 0 \\ x^2-4x+y^2-8y + 25 & = 0 \\ x-2^2-4 + y-4^2-16 + 25 & = 0 \\ x-2^2 + y-4^2 & =-5 \end{aligned}$$Persamaan di atas serupa dengan bentuk persamaan lingkaran, namun ditemukan bahwa $r$ bernilai negatif, sehingga persamaan $x^2 + y^2-4x-8y + 25 = 0$ bukan persamaan lingkaran. Jawaban c Persamaan $x^2 + 3x + 4y-10 = 0$ tidak memiliki suku $y^2$ sehingga bukan termasuk persamaan lingkaran. [collapse] Soal Nomor 2 Tentukan persamaan lingkaran dengan ketentuan berikut. Berdiameter $10$ dan berpusat di titik $-5,5$; Berjari-jari $7$ dan berpusat di titik $1,0$; Berjari-jari $\sqrt{3}$ dan berpusat di titik asal. Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Diketahui $d = 10, r = 5$, $r^2 = 25, a =-5, b = 5.$ Ingat bahwa panjang jari-jari adalah setengah dari panjang diameter. Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+5^2+y-5^2 = 25}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2+10x-10y+25=0}$ Jawaban b Diketahui $r = 7, r^2 = 49$, $a = 1, b = 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-1^2+y^2 = 49}$ atau bila diuraikan, maka akan menjadi $\boxed{x^2+y^2-2y-48 =0}$ Jawaban c Diketahui $r = \sqrt{3}, r^2 = 3, a = b = 0.$ Catatan Titik asal disebut juga titik pusat koordinat, yaitu $0, 0.$ Persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x^2+y^2 = 3}$ [collapse] Soal Nomor 3 Tentukan koordinat titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan berikut. a. $x+5^2+y-3^2 = 16$ b. $x^2+y^2+10x-8y-8=0$ c. $3x^2+3y^2+12x-9y = 0$ Pembahasan Persamaan lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$ adalah $\boxed{x-a^2+y-b^2 = r^2}$ Jawaban a Dengan membandingkan persamaan lingkaran tersebut dengan bentuk umum persamaan lingkaran, diperoleh $a =-5, b=3$, dan $r^2 = 16$, atau $r = 4$. Jadi, kooordinat titik pusatnya di $-5,3$ dan jari-jari lingkarannya $4$ satuan panjang. Jawaban b Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $$\begin{aligned} x^2+y^2+10x-8y-8 & = 0 \\ x^2+10x + y^2-8y + 8 & = 0 \\ x+5^2- 25 + y-4^2-16 + 8 & = 0 \\ x+5^2 + y-4^2 = 33 \end{aligned}$$Diperoleh $a =-5, b = 4, r^2 = 33, r = \sqrt{33}.$ Jadi, koordinat titik pusatnya di $-5,4$ dan jari-jari lingkarannya $\sqrt{33}$ satuan panjang. Jawaban c Ubah persamaan lingkaran tersebut ke dalam bentuk umum kanonik. $\begin{aligned} 3x^2+3y^2+12x- 9y & = 0 \\ \text{Bagi 3 pada kedua ruas} & \\ x^2+y^2+4x-3y & = 0 \\ x^2+4x + y^2-3y & = 0 \\ x + 2^2-4 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2-\dfrac{9}{4} & = 0 \\ x + 2^2 + \lefty-\dfrac{3}{2}\right^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$ Diperoleh $a =-2, b = \dfrac{3}{2}, r^2 = \dfrac{25}{4}, r = \dfrac{5}{2}$. Jadi, koordinat titik pusatnya di $\left-2,\dfrac{3}{2}\right$ dan jari-jari lingkarannya $\dfrac{5}{2}$ satuan panjang. [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui lingkaran dengan persamaan $x-2^2 + y+5^2 = 40.$ Selidikilah letak titik-titik berikut terhadap lingkaran itu. a. Titik $A2, 5$ b. Titik $B-4,-3$ c. Titik $C0,-4$ d. Titik $D8,-7$ e. Titik $E-1,2$ f. Titik $F6,-2$ Pembahasan Ada $3$ kemungkinan kedudukan titik terhadap suatu lingkaran, yaitu terletak di luar lingkaran, pada lingkaran, dan di dalam lingkaran. Pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2 = r^2$, apabila substitusi nilai $x, y$ mengakibatkan ruas kiri lebih besar dari ruas kanan, maka itu berarti titik dengan koordinat tersebut berada di luar lingkaran. Jika lebih kecil, berarti titiknya di dalam lingkaran. Jika sama, berarti titiknya pada lingkaran. Jawaban a Titik $A2,5$. Substitusikan $x = 2$ dan $y = 5$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 2-2^2 + 5+5^2 \\ & = 0^2 + 10^2 \\ & = 100 > 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $A$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban b Titik $B-4,-3$. Substitusikan $x =-4$ dan $y =-3$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = -4-2^2 + -3+5^2 \\ & = -6^2 + 2^2 \\ & = 40 \end{aligned}$ Ini berarti, titik $B$ berada pada lingkaran itu. Jawaban c Titik $C0,-4$. Substitusikan $x = 0$ dan $y =-4$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $\begin{aligned} & x-2^2 + y+5^2 \\ & = 0-2^2 + -4+5^2 \\ & = -2^2 + 1^2 \\ & = 5 40 \end{aligned}$$Ini berarti, titik $E$ berada di luar lingkaran itu. Jawaban f Titik $F6,-2$. Substitusikan $x = 6$ dan $y =-2$ pada ruas kiri persamaan lingkaran di atas. $$\begin{aligned}x-2^2 + y+5^2 & = 6-2^2 + -2+5^2 \\ & = 4^2 + 3^2 \\ & = 25 0 \\ 36- 64k^2 & > 0 \\-64k^2 & >-36 \\ k^2 & \dfrac{36}{64} = \dfrac{9}{16} \\ k & \dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, nilai $k$ adalah $\left\{k~~k \dfrac{3}{4}, k \in \mathbb{R}\right\}$ [collapse] Soal Nomor 9 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui tiga titik $A 2,-4, B5,-1$, dan $C2,2$. Pembahasan Dalam bentuk umum, persamaan lingkaran berbentuk $x-a^2 + y-b^2 = r^2$, dengan $a, b$ titik pusat lingkaran. Dengan substitusi nilai $x, y$ pada persamaan itu, diperoleh $$\begin{aligned} A2,-4 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 && \cdots 1 \\ B5,-1 5-a^2 + -1-b^2 & = r^2 && \cdots 2 \\ C2,2 2-a^2 + 2-b^2 & = r^2 && \cdots 3 \end{aligned}$$Kurangi persamaan 1 dengan persamaan 3 untuk memperoleh $$\begin{aligned} -4-b^2-2-b^2 & = 0 \\ -4-b-2+b-4-b+2-b & = 0 \\-6-2b-2 & = 0 \\-2b & = 2 \\ b & =-1 \end{aligned}$$Substitusikan $b =-1$ pada persamaan $1$ dan $2$, kemudian kurangkan. $$\begin{aligned} 2-a^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ 5-a^2 + -1+1^2 & = r^2 \\ \rule{5 cm}{1 pt}~&- \\ 2-a^2 + 9-5-a^2 & = 0 \\ 4- 4a + a^2 + 9-25-10a + a^2 & = 0 \\ 6a & = 12 \\ a & = 2 \end{aligned}$$Terakhir, substitusikan $a = 2$ dan $b =-1$ pada salah satu dari tiga persamaan di atas. Sebagai contoh, misalkan pada persamaan 1. $\begin{aligned} 2-a^2 + -4-b^2 & = r^2 \\ 2-2^2 + -4+1^2 & = r^2 \\ r^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkaran yang melalui ketiga titik itu adalah $\boxed{x-2^2 + y+1^2 = 9}$ Gambar grafiknya sebagai berikut. [collapse] Soal Nomor 10 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran dari gradien yang diketahui berikut. a. $x^2+y^2=4; m = 2$ b. $x^2+y^2-4x-2=0; m =-1$ c. $x^2+y^2-3x+2y-3=0; m = 1$ d. $x^2+y^2-3x-5=0; m =-3$ e. $x+2^2+y-1^2=8; m=1$ f. $x-1^2+y-5^2=10; m = 2$ g. $x^2+y+2^2=5; m =-3$ Pembahasan Jawaban a Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2 = 4$. Lingkaran ini memiliki pusat di $0, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt4 = 2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = b = 0$, $m = 2$, dan $r = 2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-0 & = 2x-0 \pm 2\sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x \pm 2\sqrt5 \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x + 2\sqrt5$ atau $y = 2x-2\sqrt5$. Jawaban b Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x-2=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} x-2^2-4 + y^2-2 & = 0 \\ x-2^2 + y^2 & = 6 \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $2, 0$ dan berjari-jari $r = \sqrt6$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 2$, $b = 0$, $m =-1$, dan $r = \sqrt6$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-1x-2 \pm \sqrt6 \cdot \sqrt{1+-1^2} \\ y & =-x + 2 \pm \sqrt{12} \\ y & =-x+2 \pm 2\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-x + 2 + 2\sqrt3$ atau $y =-x+2-2\sqrt3$. Jawaban c Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x+2y-3=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $$\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + [y+1^2-1]-3 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac94+1+3 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y+1^2 & = \dfrac{25}{4} \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32,-1\right$ dan berjari-jari $r = \sqrt{\dfrac{25}{4}} = \dfrac52$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b =-1$, $m = 1$, dan $r = \dfrac52$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1& = 1\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac52 \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y+1 & = x-\dfrac32 \pm \dfrac52\sqrt{2} \\ y & = x-\dfrac52 \pm \dfrac52\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = x-\dfrac52 + \dfrac52\sqrt2$ atau $y = x-\dfrac52-\dfrac52\sqrt2$. Jawaban d Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-3x-5=0$. Persamaan di atas dapat diubah menjadi bentuk umum persamaan lingkaran dengan menggunakan metode kuadrat sempurna, yaitu $\begin{aligned} \left[\leftx-\dfrac32\right^2-\dfrac94\right] + y^2-5 & = 0 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac94+5 \\ \leftx-\dfrac32\right^2 + y^2 & = \dfrac{29}{5} \end{aligned}$ Lingkaran ini memiliki pusat di $\left\dfrac32, 0\right$ dan berjari-jari $r = \dfrac12\sqrt{29}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = \dfrac32$, $b = 0$, $m =-3$, dan $r = \dfrac12\sqrt{29}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-0 & =-3\leftx-\dfrac32\right \pm \dfrac12\sqrt{29} \cdot \sqrt{1+-3^2} \\ y & =-3x+ \dfrac92 \pm \dfrac12\sqrt{290} \end{aligned}$$Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y =-3x+\dfrac92+\dfrac12\sqrt{290}$ atau $y =-3x+\dfrac92- \dfrac12\sqrt{290}$. Jawaban e Diketahui persamaan lingkaran $x+2^2+y-1^2=8$. Lingkaran ini memiliki pusat di $-2, 1$ dan berjari-jari $r = \sqrt8 = 2\sqrt2$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a =-2$, $b = 1$, $m = 1$, dan $r = 2\sqrt2$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $$\begin{aligned} y-1 & = 1x-2 \pm 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{1+1^2} \\ y & = x+3 \pm 4 \end{aligned}$$Dengan mengganti tanda $\pm$ menjadi $+$ atau $-$, kita peroleh persamaan garis singgung lingkaran itu, yakni $y = x+7$ atau $y = x-1.$ Jawaban f Diketahui persamaan lingkaran $x-1^2+y-5^2=10$. Lingkaran ini memiliki pusat di $1, 5$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di $a, b$ dan berjari-jari $r$, serta garisnya bergradien $m$ dirumuskan oleh $\boxed{y-b = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2}}$ Untuk $a = 1$, $b = 5$, $m = 2$, dan $r = \sqrt{10}$, diperoleh persamaan garis singgungnya, yaitu $\begin{aligned} y-5 & = 2x-1 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1+2^2} \\ y & = 2x+3 + \pm 5\sqrt{2} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung lingkaran itu adalah $y = 2x+3+5\sqrt2$ atau $y = 2x+3-5\sqrt2$. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Gradien dan Persamaan Garis Lurus Soal Nomor 11 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$ yang memenuhi kriteria berikut. tegak lurus terhadap garis $x+3y-15=0$; sejajar terhadap garis $x+3y-15=0$. Pembahasan Diketahui persamaan lingkaran $x^2+y^2-4x+8y+10=0$. Persamaan ini dapat diubah menjadi bentuk umumnya menggunakan metode kuadrat sempurna, yakni $$\begin{aligned} x-2^2-4+y+4^2-16+10 & =0 \\ x-2^2+y+4^2 & = 10 \end{aligned}$$Lingkaran ini memiliki titik pusat di $2,-4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{10}$. Jawaban a Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya tegak lurus dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya adalah $m =-\dfrac{1}{m_g} = 3$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =3x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + 3^2} \\ y+4 & = 3x-6 \pm 10 \\ y & = 3x-10 \pm 10 \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y = 3x$ atau $y=3x-20$. Jawaban b Garis $x + 3y-15 = 0$ memiliki gradien $m_g =-\dfrac{\text{Koef.}~x}{\text{Koef.}~y} =-\dfrac{1}{3}$. Karena garis singgungnya sejajar dengan garis ini, maka gradien garis singgungnya sama, yaitu $m = m_g =-\dfrac13$. Persamaan garis singgungnya dirumuskan oleh $$\begin{aligned} y-b & = mx-a \pm r\sqrt{1+m^2} \\ y-4 & =-\dfrac13x-2 \pm \sqrt{10} \cdot \sqrt{1 + \left-\dfrac13\right^2} \\ y+4 & =-\dfrac13x+\dfrac23 \pm \sqrt{10} \cdot \dfrac13\sqrt{10} \\ y & =-\dfrac13x-\dfrac{10}{3} \pm \dfrac{10}{3} \end{aligned}$$Jadi, ada $2$ garis singgung lingkaran tersebut, yaitu $y =-\dfrac13x$ atau $y=-\dfrac13x-\dfrac{20}{3}$. [collapse] Soal Nomor 12 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada koordinat $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$; koordinat $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$. Pembahasan Jawaban a Karena pusatnya di $-3,2$ dan menyinggung sumbu $Y$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $X$ ke sumbu $Y$, yaitu $r = 3$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x + 3^2 + y- 2^2 & = 3^2 \\ x+3^2 + y-2^2 & = 9 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x+3^2 + y-2^2 = 9}$ Jawaban b Karena pusatnya di $4,2$ dan menyinggung sumbu $X$, maka panjang jari-jarinya adalah jarak pusat dari sumbu $Y$ ke sumbu $X$, yaitu $r = 2$. Untuk itu, didapat $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 2^2 \\ x-4^2 + y-2^2 & = 4 \end{aligned}$ Jadi, persamaan lingkarannya adalah $\boxed{x-4^2 + y-2^2 = 4}$ [collapse] Soal Nomor 13 Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran $x-3^2 + y-4^2 = 25$ yang melalui titik $0,0$. Pembahasan Persamaan garis yang melalui titik pusat $0,0$ adalah $y = mx$ dengan $m$ sebagai gradiennya. Substitusikan $y = mx$ pada persamaan lingkaran tersebut. $$\begin{aligned} x-3^2 + y-4^2 & = 25 \\ x-3^2 + mx-4^2 & = 25 \\ x^2-6x + 9 + m^2x^2- 8mx + 16 & = 25 \\ 1 + m^2x^2- 8m + 6x & = 0 \end{aligned}$$Kita peroleh persamaan kuadrat dengan koefisien $x^2$, yaitu $a = 1 + m^2$, koefisien $x$, yaitu $b = 8m + 6$, dan konstanta $c = 0.$ Agar garis itu menyinggung lingkaran, maka diskriminannya haruslah bernilai $0$. $\begin{aligned} b^2-4ac & = 0 \\ -8m-6^2- 41 + m^20 & = 0 \\ -8m- 6^2 & = 0 \\-8m-6 & = 0 \\ m & = \dfrac{6}{-8} \\ m & =-\dfrac{3}{4} \end{aligned}$ Jadi, persamaan garis singgung itu adalah $\boxed{y =-\dfrac{3}{4}x}$ [collapse] Soal Nomor 14 Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $x + y-5 = 0$ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2 + y^2- 2x-2y-34 = 0$ dan $x^2 + y^2 + 8x-2y-100 = 0$. Pembahasan Langkah 1 Menentukan titik potong kedua lingkaran Persamaan kedua lingkaran itu dalam bentuk umum adalah $\begin{aligned} x-1^2 + y-1^2 & = 36 \\ x+4^2 + y-1^2 & = 117 \end{aligned}$ Kurangkan persamaan atas dengan persamaan bawah untuk memperoleh $$\begin{aligned} x-1^2-x + 4^2 & =-81 \\ x^2-2x + 1-x^2 + 8x + 16 & =-81 \\-10x + 1-16 & =-81 \\-10x & =-66 \\ x & = \dfrac{33}{5} \end{aligned}$$Substitusikan nilai $x = \dfrac{33}{5}$ pada salah satu persamaan lingkaran, misalnya pada $x-1^2 + y-1^2 = 36$, sehingga didapat $\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-1\right^2 + y-1^2 & = 36 \\ y-1 & = \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \\ y & = 1 \pm \dfrac{1}{5}\sqrt{116} \end{aligned}$ Ini berarti, ada 2 titik potong kedua lingkaran, yaitu pada koordinat $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$. Langkah 2 Menentukan titik pusat lingkaran yang dimaksud Misalkan titik pusat lingkarannya, yaitu $x_p, y_p$, terletak pada garis $x + y-5 = 0$ sehingga berlaku $y_p = 5-x_p$. Ini berarti, $\begin{aligned} x-x_p^2 + y-y_p^2 & = r^2 \\ x-x_p^2 + y + x_p- 5^2 & = r^2 \end{aligned}$ Karena lingkaran melalui titik $\left\dfrac{33}{5}, 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$ dan $\left\dfrac{33}{5}, 1-\dfrac{1}{5}\sqrt{116}\right$, diperoleh $$\begin{aligned} \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \\ \left\dfrac{33}{5}-x_p\right^2 + \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 & = r^2 \end{aligned}$$Kurangi persamaan atas dengan persamaan bawah untuk mendapatkan $\begin{aligned} & \left\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p-5\right^2 \\ & = \left-\dfrac{1}{5}\sqrt{116} + 1 + x_p- 5\right^2 \end{aligned}$ Jabarkan, sehingga nantinya didapat $x_p = \dfrac{\frac{16}{5}\sqrt{116}}{\frac{4}{5}\sqrt{116}} = 4$ Ini berarti, $y_p = 1$. Jadi, titik pusat lingkarannya di $4, 1$. Langkah 3 Menentukan persamaan lingkaran Substitusikan $x_p = 4, y_p = 1, x = \dfrac{33}{5}, y = 1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}$ pada persamaan lingkaran $x-x_p^2 + y-y_p^2= r^2$ sehingga diperoleh $$\begin{aligned} r^2 & = \left\dfrac{33}{5}-4\right^2 + \left1 + \dfrac{1}{5}\sqrt{116}-1\right^2 \\ r^2 & = \dfrac{169}{25} + \dfrac{116}{25} = \dfrac{57}{5} \end{aligned}$$Jadi, persamaan lingkaran itu adalah $\boxed{x-4^2 + y-1^2 = \dfrac{57}{5}}$ Perhatikan grafiknya di bawah ini. [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Persamaan Kuadrat Versi HOTS & Olimpiade Soal Nomor 15 Tentukan persamaan lingkaran yang melalui $2,1$ dan konsentris dengan lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0.$ Pembahasan Lingkaran $x^2+y^2+6x+8y-37=0$ dapat diubah menjadi bentuk umum kanonik sebagai berikut. $$\begin{aligned} x^2+y^2+6x+8y-37 & = 0 \\ x^2+6x + y^2+8y- 37 & = 0 \\ x+3^2-9+y+4^2-16-37 &= 0 \\ x+3^2 + y+4^2 & = 62 \end{aligned}$$Pusat lingkaran di $-3,-4.$ Persamaan lingkaran yang berpusat di $-3,-4$ dan melalui titik $2,1$ adalah $r^2 = 2 + 3^2 + 1 + 4^2 = 50.$ Jadi, diperoleh $r^2 = 50.$ Dengan demikian, persamaan lingkaran yang dimaksud adalah $\boxed{x+3^2 + y+4^2 = 50}$ [collapse] Baca Soal dan Pembahasan- Fungsi Kuadrat Soal Nomor 16 Hitung nilai $A, B$, dan $C$ jika lingkaran $x^2+y^2+Ax+By+C = 0$ melalui titik $3,5, -2,4$, dan $-6,-2$. Pembahasan Substitusi tiap titik sebagai nilai $x, y$ pada persamaan lingkaran, sehingga diperoleh $$\begin{cases} 3^2 + 5^2 + 3A + 5B + C & = 0 \\ -2^2+4^2-2A+4B+C & = 0 \\ -6^2+-2^2-6A-2B+C & = 0 \end{cases}$$atau disederhanakan menjadi $\begin{cases} 3A+5B+C =-34 & 1 \\-2A+4B+C =-20 & 2 \\-6A- 2B +C =-40 & 3 \end{cases}$ Dari $1$ dan $2$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-2A + 4B + C =-20 \\ \rule{ cm}{ \\ 5A + B =-14 &~~~4 \end{aligned}$ Dari $2$ dan $3$, diperoleh $\begin{aligned} 3A + 5B + C =-34 \\-6A- 2B + C =-40 \\ \rule{ cm}{ \\ 9A + 7B = 6 &~~~5 \end{aligned}$ Selanjutnya, dari $4$ dan $5$, diperoleh $$\begin{aligned} \! \begin{aligned} 5A+B & =-14 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \left \! \begin{aligned} \times 7 \\ \times 1 \end{aligned} \right & \! \begin{aligned}~35A+7B & =-98 \\ 9A+7B & = 6 \end{aligned} \\ & \rule{ cm}{ \\ & \! \begin{aligned} 26A& =-104 \\ A & =-4 \end{aligned} \end{aligned}$$Substitusikan gantikan $A =-4$ pada persamaan $4$ atau $5$, misalkan pada persamaan $4$ . $\begin{aligned} 5A+B&=-14 \\ 5-4+B&=-14 \\-20+B&=-14 \\ B & = 6 \end{aligned}$ Substitusikan gantikan $A =-4$ dan $B = 6$ pada persamaan $1, 2$, atau $3$, misalkan pada persamaan $1$ . $\begin{aligned} 3A+5B+C & =-34 \\ 3-4 + 56 + C & =-34 \\-12+30+C&=-34 \\ C & =-52 \end{aligned}$ Jadi, nilai $A, B$, dan $C$ berturut-turut adalah $-4, 6$, dan $-52$. [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 17 Pada sebuah panggung, seorang penata lampu menggunakan lampu sorot untuk menyinari area panggung. Sinar yang dihasilkan dari lampu sorot berbentuk lingkaran dengan persamaan $x-13^2 + y-4^2 = 16.$ Buatlah gambar lingkaran yang dihasilkan lampu sorot pada bidang Kartesius. Jika tiga penampil, yaitu Handi, Lusi, dan Jane berturut-turut ada pada koordinat $11, 4, 8, 5$, dan $15, 5$, manakah penampil yang berada di luar sinar lampu sorot? Pembahasan Jawaban a Perhatikan bahwa $x-13^2 + y-4^2 = 16$ merupakan persamaan lingkaran yang berpusat di $13, 4$ dan berjari-jari $r = \sqrt{16} = 4.$ Posisikan titik $13, 4$, kemudian geser sejauh $4$ satuan ke kiri, kanan, atas, dan bawah, sehingga diperoleh titik $9, 4, 17, 4, 13, 8$, dan $13, 0$. Hubungkan keempat titik itu dengan menggunakan garis lengkung sehingga terbentuklah sebuah lingkaran. Jawaban b Substitusikan nilai $x$ dan $y$ berdasarkan koordinat $x, y$ yang diberikan ke bentuk $x-13^2 + y-4^2$. Perhatikan tiga ketentuan berikut Apabila bernilai kurang dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di dalam lingkaran sinar lampu sorot; Apabila bernilai tepat $16$, maka itu berarti titik koordinatnya persis di tepi lingkaran tepi sinar lampu sorot; Apabila bernilai lebih dari $16$, maka itu berarti titik koordinatnya berada di luar lingkaran sinar lampu sorot; Untuk koordinat $11, 4$, diperoleh $\begin{aligned} 11-13^2 + 4-4^2 & = -2^2 + 0^2 \\ & = 4 16 \end{aligned}$ Jadi, Lusi berada di luar sinar lampu sorot. Untuk koordinat $15, 5$, diperoleh $$\begin{aligned} 15-13^2 + 5-4^2 & = 2^2 + 1^2 \\ & = 5 < 16 \end{aligned}$$Jadi, Jane berada di dalam sinar lampu sorot. Penampil yang berada di luar sinar lampu sorot adalah Lusi. [collapse] Soal Nomor 18 Sebuah radar ditempatkan pada koordinat $2, 3$ dan mampu mendeteksi hingga $50$ km ke segala arah. Buatlah persamaan yang menggambarkan kemampuan deteksi radar. Jika sebuah objek berada pada koordinat $40, 20$, dapatkah radar tersebut mendeteksinya? Berikan alasannya! Pembahasan Jawaban a Kemampuan deteksi radar itu dapat dideskripsikan sebagai lingkaran yang berpusat di $2, 3$ dan berjari-jari $r = 50$, atau $r^2 = 2500$. Persamaannya adalah $x-2^2 + y-3^2 = 2500.$ Jawaban b Substitusikan nilai $x = 40$ dan $y = 20$ pada bentuk $x-2^2 + y-3^2$ menghasilkan $\begin{aligned} 40-2^2 + 20-3^2 & = 38^2 + 17^2 \\ & = 1733 < 2500 \end{aligned}$ Karena itu, objek yang berada pada koordinat$40, 20$ terdeteksi oleh radar itu. [collapse] Soal Nomor 19 Sebuah asteroid yang melaju dengan persamaan $2y-2x-20=0$ diperkirakan akan menabrak sebuah satelit yang berputar mengelilingi bumi dengan persamaan $x^2+y^2=52.$ Tentukan titik koordinat tabrakan yang akan terjadi dengan asumsi titik $0,0$ dihitung dari inti bumi. Pembahasan Perhatikan bahwa $\begin{aligned} 2y-2x-20&=0 \\ 2y & = 2x+20 \\ y & = x+10 \end{aligned}$ Substitusikan $y = x+10$ ke persamaan lingkaran $x^2+y^2=52$, sehingga ditulis $\begin{aligned} x^2+x+10^2 & = 52 \\ x^2 + x^2+20x+100 & = 52 \\ 2x^2+20x+8& = 0 \\ x^2+10x+24&=0 \\ x+6x+4 & = 0 \end{aligned}$ Diperoleh $x=-6$ atau $x=-4.$ Untuk $x=-6$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-6+10 = 4.$ Untuk $x=-4$, diperoleh $y = x + 10 \Rightarrow y =-4+10 = 6.$ Jadi, titik tabrakannya berada di koordinat $-6,4$ dan $-4, 6.$ [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- Lingkaran Tingkat SD Kelas 8 SMPPERSAMAAN GARIS LURUSBentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaGambarlah garis-garis dengan persamaan berikut ini dengan terlebih dahulu menentukan nilai x jika y = 0 dan menentukan nilai y jika x = 0. 2x + y = 6Bentuk Persamaan Garis Lurus dan GrafiknyaPERSAMAAN GARIS LURUSALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0203Dari persamaan garis berikut i y = 2x - 3 ii y =3x -...0226Diantara persamaan-persamaan berikut ini; manakah yang bu...0220Grafik persamaan garis lurus 2y+x=4 adalah ....A. y x B y...Teks videoBerikut ini kita memiliki 2 x + 9 = 6 karena kita disuruh untuk menggambarkan garis-garis dengan persamaan berikut ini maka kita harus terlebih dahulu menentukan titik potong pada sumbu x dan juga sumbu y pada grafik dengan memasukkan nilai x = 0 dan juga y = 0. Jadi pertama kita akan memasukkan nilai x = 0 terlebih dahulu. Jika kita masukkan nilai x = 0, maka kita dapatkan 2 dikalikan dengan 0 ditambah sehingga jika 2 dikalikan dengan 0 menjadi 0 maka kita tidak perlu menuliskan nomornya lagi di langsung saja kita Tuliskan y = 6 karena disini diberitahu bahwa x = 0 dan hasil akhir dari nya adalah 6 maka kita dapat menentukan bahwa titik koordinatnya adalah koma 6 selanjutnya kita akan memasukkan nilai y = 0 ke dalam rumus Jadi jika y = 0 kita akan memperoleh 2 x + 0 = 6 dan juga karena nol tidak bernilai apapun maka kita bisa langsung tulis 2 x = 6 sehingga kita dapat memperoleh nilai x yaitu 3 x = 0 dan X = 3 sehingga kita dapat memperoleh nilai titik koordinat yang kedua yaitu 3,0 dimana kita akan menggambarkan garis-garisnya terlihat atau tampak seperti ini dikatakan sebagai sumbu x adalah garis yang horizontal sedangkan garis yang dikatakan sebagai sumbu y adalah garis yang vertikal dan step selanjutnya atau langkah selanjutnya kita akan menandai titik titik koordinat pada grafik Jadi yang pertama adalah titik 0,6 jadi titik 0,6 Tahu semua ada disini yang ditandai dengan titik berwarna merah. Selain itu titik koordinat yang kedua adalah titik 3,0 yang ditandai oleh titik pada sumbu-x ini kita akan gabungkan kedua titik ini dengan satu garis seperti ini maka garis dengan persamaan 2 x + y = 6 akan tampak seperti ini pada grafik sampai jumpa pada soal berikutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul Pembahasan soal Matematika SMP Ujian Nasional UN tahun 2016 nomor 21 sampai dengan nomor 25 tentang grafik fungsi kuadrat, sistem persamaan linear, garis dan sudut, serta sifat segitiga. Soal No. 21 tentang Grafik Fungsi Garis Lurus Persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah …. A. 2y = x − 1 B. 2y = −x − 1 C. 2y = x + 1 D. 2y = −x + 1 Garis a melalui titik −1, 0 dan 0, 2. Gradien garis a adalah ma = y/x = 2 − 0/0 − −1 = 2 Garis b tegak lurus garis a. Dua garis yang saling tegak lurus, perkalian gradiennya sama dengan −1. ma × mb = −1 2 × mb = −1 mb = −1/2 Garis b melalui titik −1,0 dengan gradien −1/2 adalah y − y1 = mx − y1 y − 0 = −1/2 x + 1 Masing-masing suku kalikan dengan 2, diperoleh 2y = −x − 1 Jadi, persamaan garis b adalah 2y = −x − 1 B. Soal No 22 tentang Sistem Persamaan Linear Seorang tukang parkir mendapat uang sebesar dari 3 buah mobil dan 5 buah motor, sedangkan dari 4 buah mobil dan 2 buah motor ia mendapat uang Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah …. A. B. C. D. Pembahasan Kita misalkan terlebih dahulu. x mobil y motor Model matematika untuk soal di atas adalah 3x + 5y = … 1 4x + 2y = 2x + y = … 2 Sekarang kita eliminasi 2 persamaan tersebut. 2x + y = ×5 10x + 5y = 3x + 5y = ×1 3x + 5y = ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ − 7x = x = Substitusi x = ke persamaan 2. 2x + y = 2× + y = + y = y = Jika terdapat 20 mobil dan 30 motor, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah 20x + 30y = 20× + 30× = + = Jadi, banyak uang parkir yang ia peroleh adalah C. Soal No. 23 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar berikut! Besar pelurus sudut KLN adalah …. A. 31° B. 72° C. 85° D. 155° Pembahasan Hati-hati dengan soal di atas, yang ditanyakan bukan sudut KLN, tetapi pelurus sudut KLN, yaitu sudut MLN. Karena kedua sudut saling berpelurus maka jumlah keduanya adalah 180°. ∠KLN + ∠MLN = 180° 3x + 15° + 2x + 10° = 180° 5x + 25° = 180° 5x = 155° x = 31° Dengan demikian, pelurus ∠KLN adalah pelurus ∠KLN = ∠MLN = 2x + 10° = 2×31° + 10° = 62° + 10° = 72° Jadi, pelurus sudut KLM adalah 72° B. Soal No. 24 tentang Garis dan Sudut Perhatikan gambar! Besar sudut BAC adalah …. A. 30° B. 40° C. 50° D. 90° Pembahasan Sudut ABC berpelurus dengan sudut CBD sehingga ∠ABC + ∠CBD = 180° ∠ABC + 140° = 180° ∠ABC = 40° Sementara itu, jumlah sudut-sudut segitiga sama dengan 180°. ∠A + ∠B + ∠C = 180° y + 10° + 40° + 2y +10° = 180° 3y + 60° = 180° 3y = 120° y = 40° Nah, sekarang masuk ke pertanyaan. ∠BAC = y + 10° = 40° + 10° = 50° Jadi, Besar sudut BAC adalah 50° C. Soal No. 25 tentang Sifat Segitiga Panjang sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r. Pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah …. A. p + q p C. p − q q Pembahasan Syarat terbentuknya segitiga adalah sisi terpanjang harus lebih kecil dari jumlah dua sisi lainnya. Jika panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah p, q, dan r, dengan p > q > r p sisi terpanjang maka berlaku q + r > p Bentuk di atas tidak terdapat pada opsi jawaban. Mari kita pindah ruas! q − p > −r Masih tidak ada. Sekarang masing-masing suku dikalikan negatif tanda pertidaksamaan akan berubah −q + p < r p − q < r Nah, ada kan? Jadi, pernyataan yang benar untuk segitiga tersebut adalah opsi C. Simak Pembahasan Soal Matematika SMP UN 2016 selengkapnya. Dapatkan pembahasan soal dalam file pdf di sini. Demikian, berbagi pengetahuan bersama Kak Ajaz. Silakan bertanya di kolom komentar apabila ada pembahasan yang kurang jelas. Semoga berkah.

persamaan garis b seperti tampak pada gambar adalah